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停时

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停时的一个范例: 布朗运动的首中时

概率论中,尤其在随机过程的研究中,停时是一种特殊的“随机时刻”。

停止规则和停时理论常在概率论统计学中被提到和应用,其中著名的有可选抽样定理英语Optional stopping theorem。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” [1]

定义

定義 — 
機率空間集合 上的全序关系,若有個单射 滿足:

  • 對所有 上的Σ-代数,且
  • 對所有 , 若

被稱為 上的一個滤子/域流(filtration),也可以稱為一個濾波(機率)空間

要強調是用哪個集合 去定義濾子的時候,可以仿造序列的标记,把濾子記為 ,然後把 也簡記為

定義 — 
為一個濾波空間,若函数 滿足。

那稱 為濾子 的一個停時(stopping time)

例子

为了解释一些是或不是停时的随机时刻,考虑一个玩轮盘赌的赌徒,其具有典型的赌场优势,初始时刻赌资为100元:

  • 赌且只赌一次,对应于停时 = 1,且这是一个停止规则(在停时概念中决定何时停止的规则或条件)。
  • 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
  • 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则,且不提供一个停止规则:因为它不仅需要此刻和过去的信息,还需要将来的信息。
  • 当赌徒使其赌资翻倍时(资产为负时若必要则允许贷款)不是一个停止规则,因为只有单边,而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。(这里假设存在限制使得备注诀窍体系加倍赌注法)或者其变异方法(比如将上次的赌金翻三倍下注)不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。)
  • 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则,虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的,但,他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化

停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性,在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先,如果 是一个(随机)过程, 是它的一个停时,那么 就用来表示过程 时刻停止。

那么, 被认为局部满足 特性,若存在一列停时 满足特性 。常见的例子如下面两个,其中 :.

  • 局部鞅)过程 是一个局部鞅,若它是右连续有左极限的,且存在一列停时 ,使得 是一个
  • 局部可积)非负连续的过程 是局部可积的,若存在一列停时 ,使得

停时的类型

停时(表示时间的下标取自 )常常依据发生时间能否预测被分成几类。

,满足 ,有,则停时 可预测的 被称为 的预告,可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程到达时间。取 ,设 是实值连续过程,若 是第一个使得 的时刻,则 是可被 逼近的,即 是第一个使得 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即, 是可接近的,若:对于部分 ,其中 是可预测的时刻。

若停时 不能被任何递增的停时序列所逼近,则称为完全不可接近的。等价地,,其中 是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即,存在惟一的可接近的停时 和惟一的完全不可接近的 ,使得凡有 ,凡有 ,若 ,则 。在此分解结果中需要说明的是,其中的停时并不一定总是有限的,也可以等于

参见

参考文献

  1. ^ Chung, Kai Lai. Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5. 
  • Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7. 
  • H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045. 
  • Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸阅读