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停時

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停時的一個範例: 布朗運動的首中時

概率論中,尤其在隨機過程的研究中,停時是一種特殊的「隨機時刻」。

停止規則和停時理論常在概率論統計學中被提到和應用,其中著名的有可選抽樣定理英語Optional stopping theorem。停時同時在數學證明中也被頻繁應用——「馴服時間這一連續統」 [1]

定義

定義 — 
概率空間集合 上的全序關係,若有個單射 滿足:

  • 對所有 上的Σ-代數,且
  • 對所有 , 若

被稱為 上的一個濾子/域流(filtration),也可以稱為一個濾波(概率)空間

要強調是用哪個集合 去定義濾子的時候,可以仿造序列的標記,把濾子記為 ,然後把 也簡記為

定義 — 
為一個濾波空間,若函數 滿足。

那稱 為濾子 的一個停時(stopping time)

例子

為了解釋一些是或不是停時的隨機時刻,考慮一個玩輪盤賭的賭徒,其具有典型的賭場優勢,初始時刻賭資為100元:

  • 賭且只賭一次,對應於停時 = 1,且這是一個停止規則(在停時概念中決定何時停止的規則或條件)。
  • 當賭徒破產或贏得500元錢時停止賭博是一個停止規則。
  • 當賭徒獲得他所能贏得的最大賭資(此時刻之前以及之後)時停止賭博不是一個停止規則,且不提供一個停止規則:因為它不僅需要此刻和過去的信息,還需要將來的信息。
  • 當賭徒使其賭資翻倍時(資產為負時若必要則允許貸款)不是一個停止規則,因為只有單邊,而且他永遠不能使他的賭資翻倍的概率是正的。(這裏假設存在限制使得備註訣竅體系加倍賭注法)或者其變異方法(比如將上次的賭金翻三倍下注)不能被使用。這類限制可以包括針對投注的但並不針對借款。)
  • 當賭徒使其賭資翻倍或破產時停止賭博是一個停止規則,雖然賭徒賭博的總次數實際上並不一定是有限的,但,他在有限時間內停下來的概率是1。

局部化

停時經常被用來概括一些情景具備的隨機過程特性,在這些情景中需要的條件只在局部意義上被滿足。首先,如果 是一個(隨機)過程, 是它的一個停時,那麼 就用來表示過程 時刻停止。

那麼, 被認為局部滿足 特性,若存在一列停時 滿足特性 。常見的例子如下面兩個,其中 :.

  • 局部鞅)過程 是一個局部鞅,若它是右連續有左極限的,且存在一列停時 ,使得 是一個
  • 局部可積)非負連續的過程 是局部可積的,若存在一列停時 ,使得

停時的類型

停時(表示時間的下標取自 )常常依據發生時間能否預測被分成幾類。

,滿足 ,有,則停時 可預測的 被稱為 的預告,可預測的停時有時則被稱作「可預告的」。例子有連續的適應過程到達時間。取 ,設 是實值連續過程,若 是第一個使得 的時刻,則 是可被 逼近的,即 是第一個使得 的時刻。

可被一列可預測的時刻覆蓋的停時稱為可接近的。即, 是可接近的,若:對於部分 ,其中 是可預測的時刻。

若停時 不能被任何遞增的停時序列所逼近,則稱為完全不可接近的。等價地,,其中 是任取的可預測的時刻。例如泊松跳躍。

每個停時 都可被惟一分解為一個可接近的時刻和一個完全不可接近的時刻。即,存在惟一的可接近的停時 和惟一的完全不可接近的 ,使得凡有 ,凡有 ,若 ,則 。在此分解結果中需要說明的是,其中的停時並不一定總是有限的,也可以等於

參見

參考文獻

  1. ^ Chung, Kai Lai. Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5. 
  • Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7. 
  • H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045. 
  • Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸閱讀