在數學 中,公理化集合论 是集合論 透過建立一階邏輯 的嚴謹重整,以解決樸素集合論 中出現的悖論 。集合論的基礎主要由德國 數學家 格奧爾格·康托爾 在19世紀末建立。
嚴謹集合論的源起
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集合論的公理
集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統,称為Zermelo-Fraenkel集合論 (ZF)。實際上,這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理 ,當包括了選擇公理,這套系統被稱為ZFC。
外延公理 :(Axiom of extensionality)兩個集合 相同,若且唯若它們擁有相同的元素 。
分類公理 :(Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension)或稱子集公理,給出任何集合及命題P(x ),存在著一個原來集合的子集 包含而且只包含使P(x )成立的元素。
配對公理 :(Axiom of pairing)假如x , y 為集合,那就有另一個集合{x ,y }包含x 與y 作為它的僅有元素。
並集公理 :(Axiom of union)每一個集合也有一個並集 。也就是說,對於每一個集合x ,也總存在著另一個集合y ,而y 的元素也就是而且只會是x 的元素的元素。
空集公理 :存在著一個不包含任何元素的集合,我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。
無窮公理 :(Axiom of infinity)存在著一個集合x ,空集 { }為其元素之一,且對於任何x 中的元素y ,y ∪ {y }也是x 的元素。
替代公理 :(Axiom schema of replacement)
冪集公理 :(Axiom of power set)每一個集合也有其冪集 。那就是,對於任何的x ,存在著一個集合y ,使y 的元素是而且只會是x 的子集。
正規公理 :(Axiom of regularity / Axiom of foundation)每一個非空集合x ,總包含著一元素y ,使x 與y 為不交集 。
選擇公理 :(Axiom of choice,Zermelo's version)給出一個集合x ,其元素皆為互不相交的非空集,那總存在著一個集合y (x 的一個選擇集合),包含x 每一個元素的仅仅一個元素。
命題在ZFC中的獨立性
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引用
Keith Devlin , 1992. The Joy of Sets , 2nd ed. Springer-Verlag.
Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy . Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4 .
Suppes, Patrick , 1972. Axiomatic Set Theory . Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4 .
Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2 . Cambridge Univ. Press.
参见
外部链接
Metamath (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ): A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic . Principia Mathematica done right.
Stanford Encyclopedia of Philosophy :
Randall Holmes's bibliography (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) for set theories allowing a universal set.
Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory. " Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane ), topos theory , Kripke-Platek set theory , Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman , and systems similar to 新基礎集合論 .
Axioms of Set Theory at ProvenMath (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
For information on the history of set theory notation, see: