在数学 中,公理化集合论 是集合论 透过建立一阶逻辑 的严谨重整,以解决朴素集合论 中出现的悖论 。集合论的基础主要由德国 数学家 格奥尔格·康托尔 在19世纪末建立。
严谨集合论的源起
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集合论的公理
集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统,称为Zermelo-Fraenkel集合论 (ZF)。实际上,这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理 ,当包括了选择公理,这套系统被称为ZFC。
外延公理 :(Axiom of extensionality)两个集合 相同,当且仅当它们拥有相同的元素 。
分类公理 :(Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension)或称子集公理,给出任何集合及命题P(x ),存在着一个原来集合的子集 包含而且只包含使P(x )成立的元素。
配对公理 :(Axiom of pairing)假如x , y 为集合,那就有另一个集合{x ,y }包含x 与y 作为它的仅有元素。
并集公理 :(Axiom of union)每一个集合也有一个并集 。也就是说,对于每一个集合x ,也总存在着另一个集合y ,而y 的元素也就是而且只会是x 的元素的元素。
空集公理 :存在着一个不包含任何元素的集合,我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。
无穷公理 :(Axiom of infinity)存在着一个集合x ,空集 { }为其元素之一,且对于任何x 中的元素y ,y ∪ {y }也是x 的元素。
替代公理 :(Axiom schema of replacement)
幂集公理 :(Axiom of power set)每一个集合也有其幂集 。那就是,对于任何的x ,存在着一个集合y ,使y 的元素是而且只会是x 的子集。
正规公理 :(Axiom of regularity / Axiom of foundation)每一个非空集合x ,总包含着一元素y ,使x 与y 为不交集 。
选择公理 :(Axiom of choice,Zermelo's version)给出一个集合x ,其元素皆为互不相交的非空集,那总存在着一个集合y (x 的一个选择集合),包含x 每一个元素的仅仅一个元素。
命题在ZFC中的独立性
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引用
Keith Devlin , 1992. The Joy of Sets , 2nd ed. Springer-Verlag.
Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy . Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4 .
Suppes, Patrick , 1972. Axiomatic Set Theory . Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4 .
Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2 . Cambridge Univ. Press.
参见
外部链接
Metamath (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ): A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic . Principia Mathematica done right.
Stanford Encyclopedia of Philosophy :
Randall Holmes's bibliography (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) for set theories allowing a universal set.
Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory. " Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane ), topos theory , Kripke-Platek set theory , Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman , and systems similar to 新基础集合论 .
Axioms of Set Theory at ProvenMath (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
For information on the history of set theory notation, see: