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刘维尔数

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如果一个实数满足,对任意正整数,存在整数,其中

就把叫做刘维尔数

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数[1],第一次说明了超越数的存在。

基本性质

容易证明,刘维尔数一定是无理数。若不然,则。 取足够大的使,在时有

与定义矛盾。

刘维尔常数

这是一个刘维尔数。取

那么对于所有正整数

超越性

所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对。例如,著名的e就不是刘维尔数。实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明

刘维尔定理:若无理数代数数,即整系数多项式的根,那么存在实数,对于所有

证明:令,记的其它的不重复的根为 ,取这样的A

如果存在使定理不成立的,就有

那么,

拉格朗日中值定理,存在之间的使得

是多项式,所以

由于

矛盾。

证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数,它是无理数,如果它是代数数则

取满足的正整数,并令,存在整数其中

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参考文献

  1. ^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. (原始内容存档于2023-02-21). 

参见

外部链接