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单值性

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复对数的虚部。在上定义复对数,会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群,以及螺旋曲面黎曼曲面之一)覆盖。

数学中,单值性(monodromy)研究的是数学分析代数拓扑代数几何微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是,我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单值性的函数。可以定义单值群来测量单值性的失效,这是一作用于数据的变换,编码了在单一维度上绕行时发生的情况。单值性的缺乏,有时称作多值性(polydromy)。[1]

定义

X是连通且底局部连通拓扑空间,基点为x,并令覆叠映射,其纤维。对以x为基的环圈,记从点开始的覆叠映射下的提升。最后,用表示端点,一半与不同。有定理指出,这种构造给出了基本群F上的良定义的群作用稳定子恰是,即当且仅当元素中以为基的环圈的像表示时,才会固定F中的一个点。这种作用叫做单值作用,对应的群同态映射到F上的自同构群,就是代数单值性。这同态的像就是单值群。还有一个映射,其像是拓扑单值群

例子

这些观点首次明确阐述是用复分析的语言。在解析延拓的过程中,在穿孔复平面的某开子集E中的解析函数可连续映射回E,但值不同。例如,取

然后逆时针绕圆

进行解析延拓,将导致返回的不是而是

这时,单值群是无限循环群,覆叠空间是穿孔复平面的万有覆叠,可以形象理解为螺旋曲面,并有的约束。覆叠映射是一个垂直投影,从某种意义上说显然地折叠了螺旋,得到穿孔平面。

复数域微分方程

一个重要应用是解微分方程,当中单解可通过解析延拓得到更多线性独立解。复平面中开连通集S上定义的线性微分方程拥有单值群,更精确地说是S基本群线性表示,概括了S中所有环圈的解析延拓。在给定表示的情况下构造方程(具有正则奇点)的逆问题称作黎曼–希尔伯特问题

对于正则(特别是富克斯)线性系统,常常选择与环圈相应的算子作为单值群的生成子,当中每个环圈逆时针绕过系统的一个极点。若指标j在顺时针绕过极点时从1增加到p+1,则生成子之间的唯一关系是。德利涅–辛普森问题是以下实现问题:对中的哪些共轭类元组,存在来自这些类的满足上式的矩阵的不可约元组?皮埃尔·德利涅与卡洛斯·辛普森第一个得到了问题的解。Vladimir Kostov提出并讨论了富克斯系统残差问题的加性版本。除了外,其他学者也考虑过在矩阵群上的问题。[2]

拓扑与几何角度

在覆叠映射的情形下,我们将其视为纤维化的特例,并利用同伦提升特性“追踪”基空间X上的路径(简单起见假定其是径连通的),因为它们可提升到覆叠C中。若沿着X中以x为基的环圈绕行,并将其提升到x上方的c处开始,则将在x上方的某个c*处结束。c ≠ c*完全是可能的,为编码这种情况,可将基本群的作用视为所有c的集合上的置换群,此时就是单值群。

微分几何中,平行移动起类似作用。在光滑流形M上的主丛B中,联络允许从M上的m之上的纤维“水平”移动到相邻的纤维。当应用于以m为基的环圈时,其效果是定义了m处纤维平移的完整群;若B的结构群是G,则它就是G的一个子群,衡量了B与积丛的偏差。

单值广群与叶状结构

在总空间中有提升基中路径的路径。沿着这些路径推进,就能得到基本广群的单值作用。

基本广群类似,可以绕过基点的选择,定义单值广群。此处考虑纤维化的基空间X中的路径的提升(的同伦类),结果具有基空间X上的广群结构。这样做的好处是,我们可以放弃X的连通性条件。

此外,这个构造还可推广到叶状结构:考虑M的(可能奇异的)叶状结构。则对于的叶中的每条路径,都可考虑其在过端点的局部横截面上的诱导微分同胚。若回到端点周围的微分同胚的,则前述微分同胚在单连通坐标图中是唯一的,尤其是在不同横截面之间。这样,在单连通坐标图中,它也变得与路径(固定端点间)无关,因此在同伦下不变。

伽罗瓦理论定义

为变量xF上的有理函数域,F也是多项式环分式域。元素决定了一个有限域扩张

这个扩张一般不是伽罗瓦的,但有伽罗瓦闭包。扩张的相关伽罗瓦群称作f的单值群。

的情形下,黎曼曲面理论允许上述几何解释。扩张已经伽罗瓦的情形下,相关单值群有时被称作甲板变换群(deck transformation)。

这与导致黎曼存在定理复叠空间伽罗瓦理论有关。

另见

注释

  1. ^ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work. Springer-Verlag. 2015: 200–201 [2017-10-05]. ISBN 9783658106195 (德语). 
  2. ^ V. P. Kostov, The Deligne–Simpson problem — a survey, J. Algebra, 2004, 281 (1): 83–108, MR 2091962, S2CID 119634752, arXiv:math/0206298可免费查阅, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013  and the references therein.

参考文献