单值性

数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单值性的函数。可以定义单值群来测量单值性的失效，这是一群作用于数据的变换，编码了在单一维度上绕行时发生的情况。单值性的缺乏，有时称作多值性（polydromy）。^[1]

定义

令X是连通且底局部连通的拓扑空间，基点为x，并令 $p:{\tilde {X}}\to X$ 为覆叠映射，其纤维为 $F=p^{-1}(x)$ 。对以x为基的环圈 $\gamma :\ [0,\ 1]\to X$ ，记从点 ${\tilde {x}}\in F$ 开始的覆叠映射下的提升为 ${\tilde {\gamma }}$ 。最后，用 ${\tilde {x}}\cdot {\tilde {\gamma }}$ 表示端点 ${\tilde {\gamma }}(1)$ ，一半与 ${\tilde {x}}$ 不同。有定理指出，这种构造给出了基本群 $\pi _{1}(X,\ x)$ 在F上的良定义的群作用， ${\tilde {x}}$ 的稳定子恰是 $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$ ，即当且仅当元素 $[\gamma ]$ 由 ${\tilde {X}}$ 中以 ${\tilde {x}}$ 为基的环圈的像表示时，才会固定F中的一个点。这种作用叫做单值作用，对应的群同态 $\pi _{1}(X,\ x)\to {\rm {Aut}}(H_{*}(F_{x}))$ 映射到F上的自同构群，就是代数单值性。这同态的像就是单值群。还有一个映射 $\pi _{1}(X,\ x)\to {\rm {Diff}}(F_{x})/{\rm {Is}}(F_{x})$ ，其像是拓扑单值群。

例子

这些观点首次明确阐述是用复分析的语言。在解析延拓的过程中，在穿孔复平面 $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ 的某开子集E中的解析函数 $F(z)$ 可连续映射回E，但值不同。例如，取

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{aligned}}

然后逆时针绕圆

|z|=1

进行解析延拓，将导致返回的不是 $F(z)$ 而是

F(z)+2\pi i

这时，单值群是无限循环群，覆叠空间是穿孔复平面的万有覆叠，可以形象理解为螺旋曲面，并有 $\rho >0$ 的约束。覆叠映射是一个垂直投影，从某种意义上说显然地折叠了螺旋，得到穿孔平面。

复数域微分方程

一个重要应用是解微分方程，当中单解可通过解析延拓得到更多线性独立解。复平面中开连通集S上定义的线性微分方程拥有单值群，更精确地说是S基本群的线性表示，概括了S中所有环圈的解析延拓。在给定表示的情况下构造方程（具有正则奇点）的逆问题称作黎曼–希尔伯特问题。

对于正则（特别是富克斯）线性系统，常常选择与环圈相应的算子 $M_{j}$ 作为单值群的生成子，当中每个环圈逆时针绕过系统的一个极点。若指标j在顺时针绕过极点时从1增加到p+1，则生成子之间的唯一关系是 $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$ 。德利涅–辛普森问题是以下实现问题：对 ${\rm {GL}}(n,\ \mathbb {C} )$ 中的哪些共轭类元组，存在来自这些类的满足上式的矩阵 $M_{j}$ 的不可约元组？皮埃尔·德利涅与卡洛斯·辛普森第一个得到了问题的解。Vladimir Kostov提出并讨论了富克斯系统残差问题的加性版本。除了 ${\rm {GL}}(n,\ \mathbb {C} )$ 外，其他学者也考虑过在矩阵群上的问题。^[2]

拓扑与几何角度

在覆叠映射的情形下，我们将其视为纤维化的特例，并利用同伦提升特性“追踪”基空间X上的路径（简单起见假定其是径连通的），因为它们可提升到覆叠C中。若沿着X中以x为基的环圈绕行，并将其提升到x上方的c处开始，则将在x上方的某个c*处结束。c ≠ c*完全是可能的，为编码这种情况，可将基本群 $\pi _{1}(X,\ x)$ 的作用视为所有c的集合上的置换群，此时就是单值群。

微分几何中，平行移动起类似作用。在光滑流形M上的主丛B中，联络允许从M上的m之上的纤维“水平”移动到相邻的纤维。当应用于以m为基的环圈时，其效果是定义了m处纤维平移的完整群；若B的结构群是G，则它就是G的一个子群，衡量了B与积丛 $M\times G$ 的偏差。

单值广群与叶状结构

与基本广群类似，可以绕过基点的选择，定义单值广群。此处考虑纤维化 $p:{\tilde {X}}\to X$ 的基空间X中的路径的提升（的同伦类），结果具有基空间X上的广群结构。这样做的好处是，我们可以放弃X的连通性条件。

此外，这个构造还可推广到叶状结构：考虑 $(M,{\mathcal {F}})$ 是M的（可能奇异的）叶状结构。则对于 ${\mathcal {F}}$ 的叶中的每条路径，都可考虑其在过端点的局部横截面上的诱导微分同胚。若回到端点周围的微分同胚的芽，则前述微分同胚在单连通坐标图中是唯一的，尤其是在不同横截面之间。这样，在单连通坐标图中，它也变得与路径（固定端点间）无关，因此在同伦下不变。

伽罗瓦理论定义

记 $\mathbb {F} (x)$ 为变量x在F域上的有理函数域，F也是多项式环 $\mathbb {F} [x]$ 的分式域。元素 $f(x)=y\in \mathbb {F} (x)$ 决定了一个有限域扩张 $[\mathbb {F} (x):\ \mathbb {F} (y)]$ 。

这个扩张一般不是伽罗瓦的，但有伽罗瓦闭包 $L(f)$ 。扩张 $[L(f):\ \mathbb {F} (y)]$ 的相关伽罗瓦群称作f的单值群。

在 $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ 的情形下，黎曼曲面理论允许上述几何解释。扩张 $[\mathbb {C} (x),\ \mathbb {C} (y)]$ 已经伽罗瓦的情形下，相关单值群有时被称作甲板变换群（deck transformation）。

这与导致黎曼存在定理的复叠空间伽罗瓦理论有关。

另见

注释

^ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work. Springer-Verlag. 2015: 200–201 [2017-10-05]. ISBN 9783658106195 （德语）.
^ V. P. Kostov, The Deligne–Simpson problem — a survey, J. Algebra, 2004, 281 (1): 83–108, MR 2091962, S2CID 119634752, arXiv:math/0206298 , doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013 and the references therein.

参考文献

V. I. Danilov, Monodromy, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
"Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
R. Brown Topology and Groupoids （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2006).
P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) TAC Reprint （页面存档备份，存于互联网档案馆）
H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1

[König2015-1] König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work. Springer-Verlag. 2015: 200–201 [2017-10-05]. ISBN 9783658106195 （德语）.

[2] V. P. Kostov, The Deligne–Simpson problem — a survey, J. Algebra, 2004, 281 (1): 83–108, MR 2091962, S2CID 119634752, arXiv:math/0206298 , doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013 and the references therein.

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