公式:
![{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a941b01c07e3e5b9b25e089aa78e7650c51735)
例如任意的
:
![{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555a26634bc26c582b0b9c1f945fea1a89a4a48e)
数学上,可導雙射函數
的反函數微分可由
的導函數
給出。若使用拉格朗日记法,反函数
[註 1]的导数公式为:
![{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0347bdeee0d3f1ccf902a27310a5e388d8665c73)
该表述等价于
![{\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b71cf74aa5480ff9d43a9823ceb5580914f923a5)
其中
表示一元微分算子(在函数的空间上),
表示二元复合算子。
記
,則上式可用莱布尼兹符号寫成:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e8b8db53babeadfae565759a5d9b5607efea8)
換言之,函數及其反函數的导数均可逆[註 2],并且乘积为1。这是链式规则的直接结果,因为
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1096e471b372542ca5bc21b6f6c144f030898b6)
而
相对于
的导数为1。
几何上,函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像,这种映射将任何线的斜率变成其倒数。
假设
在
的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零,则它的反函数保证在 x 处是可微的,并有上述公式给出的导数。
反函数举例
(
为正)具有逆
中。
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52485cf58c23be2bcea9246cfedd3b6c2775d142)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a37029e7ca0d81e754a7d58d14d812100a698d)
但是,在 x = 0有一个问题:平方根函数图像变为垂直的,相对应平方函数的水平切线。
(
为实数)具有逆
(
为正值)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a637f8a50643b148f8cece06e79a882aa254c3)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1754e0ae192bedb64a5ce9dc957feaac9cc2910f)
其他属性
[註 3]
可见,具有连续导数的函数(光滑函数)在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的,则上述积分公式不成立。
高阶导数
上面给出的链式法则是通过对等式
关于
微分得到的。对于更高阶的导数,可以继续同样的过程。对恒等式对
求导两次,得到
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512056e99f776f242cbc6680d8c75f697ed6fd6a)
使用链式法则进一步简化为
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f535bbb8d04a2686779a89491d57676f71fe21e3)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4379cd453116bdbd585925fa8d9ffab5c01abfe7)
用之前得到的恒等式替换一阶导数,得到
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eebfa1389f66743679c683d94bf448f778c3725)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ff4235a43616707da88851ec39b4d88f5e7b45)
对三阶导数类似:
![{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383e1766e928fe2c2f0c7b25b6ea9c543fc0efeb)
或者用二阶导数的公式,
![{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162c75f07bff289683956ee0a22d7c403aba2155)
这些公式是由Faa di Bruno公式推广。
这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果
和
是互逆的,则
![{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c374bf89ec0cde43e6ec3e86cbf86490e55f35d)
反函数的微分举例
有逆运算
。使用反函数的二次导数公式,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4fa01502ae29f8f86a41baa0ea327f35e646c)
于是,
,
与直接计算相同。
注释
参见