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反函數的微分

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公式:

例如任意的 :

數學上,可導雙射函數反函數微分可由的導函數給出。若使用拉格朗日記法反函數[註 1]的導數公式為:

該表述等價於

其中 表示一元微分算子(在函數的空間上), 表示二元複合算子。

,則上式可用萊布尼茲符號寫成:

換言之,函數及其反函數的導數均可逆[註 2],並且乘積為1。這是鏈式規則的直接結果,因為

相對於 的導數為1。

幾何上,函數和反函數有關於直線 y = x.鏡像的圖像,這種映射將任何線的斜率變成其倒數

假設 的鄰域有一個反函數並且它在該點的導數不為零,則它的反函數保證在 x 處是可微的,並有上述公式給出的導數。

反函數舉例

  • 為正)具有逆 中。

但是,在 x = 0有一個問題:平方根函數圖像變為垂直的,相對應平方函數的水平切線。

  • ( 為實數)具有逆 為正值)

其他屬性

  • 對反函數積分有如下公式
[註 3]

可見,具有連續導數的函數(光滑函數)在其導數非零的每一點的鄰域內都有反函數。如果導數不連續的,則上述積分公式不成立。

高階導數

上面給出的鏈式法則是通過對等式關於微分得到的。對於更高階的導數,可以繼續同樣的過程。對恆等式對求導兩次,得到

使用鏈式法則進一步簡化為

用之前得到的恆等式替換一階導數,得到

對三階導數類似:

或者用二階導數的公式,

這些公式是由Faa di Bruno公式推廣。

這些公式也可以用拉格朗日表示法來表示。如果是互逆的,則

反函數的微分舉例

  • 有逆運算。使用反函數的二次導數公式,

於是,

,

與直接計算相同。

注釋

  1. ^ 的反函數,意思是若,則。準確定義請參閱反函數
  2. ^ 前提均存在
  3. ^ 這僅在積分存在的情況下適用。特別地,需要在整個積分範圍內非零

參見