小反屈扭稜二十面截半二十面體

小反屈扭稜二十面截半二十面體
類別	均勻星形多面體
對偶多面體	小六角星六十面體（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）
識別
名稱	小反屈扭稜二十面截半二十面體; small retrosnub icosicosidodecahedron; retrosnub disicosidodecahedron; small inverted retrosnub icosicosidodecahedron; retroholosnub icosahedron; Yog Sothoth
參考索引	U72, C91, W118
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sirsid
數學表示法
考克斯特符號; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	;
施萊夫利符號	ß{3⁄2,5}
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	\| 3/2 3/2 5/2
性質
面	112
邊	180
頂點	60
歐拉特徵數	F=112, E=180, V=60 （χ=-8）
組成與佈局
面的種類	(40+60)個正三角形; 12個正五角星
頂點圖	(35.5/3)/2
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; (35.5/3)/2; （頂點圖）
	; 小六角星六十面體（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）; （對偶多面體）
	查; 论; 编;

小反屈扭稜二十面截半二十面體（small retrosnub icosicosidodecahedron）又稱為小逆反屈扭稜二十面截半二十面體（small inverted retrosnub icosicosidodecahedron）^[1]或Yog Sothoth^[2]^[3]，是一種星形均勻多面體，由100個正三角形和12個正五角星組成^[4]，索引為U₇₂，對偶多面體為小六角星六十面體（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）^[5]，具有二十面體群對稱性（英语：Icosahedral symmetry）。^[6]^[4]^[7]，且與完全扭稜二十面體拓樸同構^[2]。

乔治·奥利舍夫斯基将其赋予了“犹格·索托斯”的呢称。 (来自克苏鲁神话中的神灵名称（英语：Yog-Sothoth）)。^[8]^[9]

性質

小反屈扭稜二十面截半二十面體共由112個面、180條邊和60個頂點組成^[6]，歐拉示性數為-8。^[10]在其112個面中，有100個正三角形面和12個正五角星面^[11]。在其100個正三角形中，有40個是反向相接的正三角形（施萊夫利符號：{3/2}）^[11]，這40個反向相接的正三角形兩兩一組互相共面^[12]，這些兩兩一組的三角形每組皆形成了一個正六角星，也就是二複合正三角形^[2]；而另外60個三角形則來自扭稜變換^[12]。若將小反屈扭稜二十面截半二十面體作為一個簡單多面體，也就是將自相交的部分分離開來，則這個立體會有3060個外部面^[3]。

頂角的組成

在小反屈扭稜二十面截半二十面體的60個頂點中，每個頂點都是5個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3,3,3,3,3,3)/2^[13]（若強調小逆反屈扭稜二十面截半二十面體則為 (5/2.3.3.3.3.3)/2^[14]）或[5/3,3⁵]^[2] 來表示，並以「/2」來表示整個頂角的周邊面繞了頂點兩圈。另一種表示方式則是將反向相接的正三角形也考慮進來，此時三角形在頂點周圍的分布方式則為三角形與反向相接的正三角形交錯出現，即面在頂點周圍排列的順序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、三角形、反向相接的正三角形、三角形和五角星來排列，這種頂角的結構在頂點圖中可以用(3.3/2.3.3/2.3.5/2)^[11]^[6]^[3]或[(3/2,3)²,5/2,3]^[15]來表示。

將小反屈扭稜二十面截半二十面體的頂角視覺化的圖形

表示法

小反屈扭稜二十面截半二十面體在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[16]或^[15]（s3/2s3/2s5/2*a）^[16]，在施萊夫利符號中可以表示為 $ß{3 ⁄ 2,5}$ ，在威佐夫記號中可以表示為| 3/2 3/2 5/2^[11]^[17]^[6]。

尺寸

若小反屈扭稜二十面截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[5]

R={\frac {\sqrt {13+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {102+46{\sqrt {5}}}}}}{4}}\approx 0.58069480013

邊長為單位長的小反屈扭稜二十面截半二十面體，中分球半徑為：^[4]

R_{M}={\frac {\sqrt {9+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {2\left(51+23{\sqrt {5}}\right)}}}}{4}}\approx 0.29530738375898

凸包

小反屈扭稜二十面截半二十面體的凸包是一個非均勻的截角十二面体，其十邊形面由等角但不等邊的十邊形組成。^[18]

截角十二面体 (正多邊形面)	凸包 (等角十邊形面)	小反屈扭稜二十面截半二十面體

二面角

小反屈扭稜二十面截半二十面體共有兩種二面角，分別為三角形面和三角形面的二面角，以及五角星面和三角形面的二面角。^[4]

其中，三角形面和三角形面的二面角角度約為24.33度：

\angle

三角形

,

三角形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {5}}}}{3}}\right)\approx 0.42467279\approx 24.331958571^{\circ }

而五角星面和三角形面的二面角角度約為44.4575度：

\angle

五角星

,

三角形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(15-2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {5\left(6{\sqrt {5}}-13\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.775930307\approx 44.457531808^{\circ }

頂點座標

小反屈扭稜二十面截半二十面體的頂點座標為下列座標的偶置換：^[4]

\left(\pm \left(1-\varphi -\alpha \right),0,\pm \left(3-\varphi \alpha \right)\right)

\left(\pm \left(\varphi -1-\alpha \right),\pm 2,\pm \left(2\varphi -1-\varphi \alpha \right)\right)

\left(\pm \left(\varphi +1-\alpha \right),\pm 2\left(\varphi -1\right),\pm \left(1-\varphi \alpha \right)\right)

其中 $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 為黃金比例，且 $\alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}$

參見

均勻多面體列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
完全扭稜二十面體

參考文獻

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查论编均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方体截角八面體截半立方體小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方体大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面体截半二十面体截角二十面體小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面体截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面体截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體