线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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幂零矩阵(英語:nilpotent matrix)是一个n×n的方块矩阵M,满足以下等式:
![{\displaystyle M^{q}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9210455f77674f528071581b03187487d4d967)
对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L,满足
对于某个整数q。
幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况,不仅可以应用于矩阵和线性变换,也可以应用于环的元素。
例子
考虑以下的矩阵:
![{\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff27bbd4a6abbe06a12006aa447bb652cbf3cef)
这是一个4×4的幂零矩阵的例子(实际上,这种形式的矩阵称为转移矩阵)。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为:
![{\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24821e517fb90c689a343b62a5e43bfc42e0457d)
超对角线不断向右上角“移动”,直到完全消失,得到零矩阵。
对应的幂零变换L : R4 → R4由下式定义:
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7929a2926a4d8fa894c02deedc5a8acb3a5113f)
有一个分类定理证明这是典型的:幂零矩阵与分块矩阵是相似的,其对角线上的区块推广了这种类型,而其它区块为零。
性质
设M为n×n的幂零矩阵。
- 满足Mq = 0的最小整数q小于或等于n。
- 在代数封闭域上,矩阵M是幂零的,当且仅当它的所有特征值为零。因此,M的行列式和迹都为零,所以幂零矩阵必為奇異方陣。
- 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵,则
是幂零矩阵,当且仅当
与t无关。这是因为:
![{\displaystyle \det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694d950e1b9094dbc064e0cb19ed25d5f883c5f6)
- 其中
是
的特征值。
分类定理
以上的例子是典型的,这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的分块矩阵相似:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb08b01dd1cb391e7ca751fe4a1fb551025ee7)
其中区块
在超对角线上为一,在其它地方为零:
![{\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ab239144acb87ffc51368a2585b2bbd57d548f)
这可以从若尔当标准形,以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。
参考文献
- ^ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3
外部链接