線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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冪零矩陣(英語:nilpotent matrix)是一個n×n的方塊矩陣M,滿足以下等式:
![{\displaystyle M^{q}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9210455f77674f528071581b03187487d4d967)
對於某個正整數q。類似地冪零變換是一個線性變換L,滿足
對於某個整數q。
冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以應用於矩陣和線性變換,也可以應用於環的元素。
例子
考慮以下的矩陣:
![{\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff27bbd4a6abbe06a12006aa447bb652cbf3cef)
這是一個4×4的冪零矩陣的例子(實際上,這種形式的矩陣稱為轉移矩陣)。注意非零的超對角線。這個矩陣的特徵為:
![{\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24821e517fb90c689a343b62a5e43bfc42e0457d)
超對角線不斷向右上角「移動」,直到完全消失,得到零矩陣。
對應的冪零變換L : R4 → R4由下式定義:
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7929a2926a4d8fa894c02deedc5a8acb3a5113f)
有一個分類定理證明這是典型的:冪零矩陣與分塊矩陣是相似的,其對角線上的區塊推廣了這種類型,而其它區塊為零。
性質
設M為n×n的冪零矩陣。
- 滿足Mq = 0的最小整數q小於或等於n。
- 在代數封閉域上,矩陣M是冪零的,當且僅當它的所有特徵值為零。因此,M的行列式和跡都為零,所以冪零矩陣必為奇異方陣。
- 假設A和B是兩個矩陣。如果A是可逆矩陣,則
是冪零矩陣,當且僅當
與t無關。這是因為:
![{\displaystyle \det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694d950e1b9094dbc064e0cb19ed25d5f883c5f6)
- 其中
是
的特徵值。
分類定理
以上的例子是典型的,這是因為以下的結果。每一個冪零矩陣都與以下的分塊矩陣相似:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb08b01dd1cb391e7ca751fe4a1fb551025ee7)
其中區塊
在超對角線上為一,在其它地方為零:
![{\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ab239144acb87ffc51368a2585b2bbd57d548f)
這可以從若爾當標準形,以及每一個與冪零矩陣相似的矩陣也是冪零的事實推出。
參考文獻
- ^ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3
外部連結