懸鏈曲面
A catenoid obtained from the rotation of a catenary
將懸鏈線繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面
懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3]
懸鏈曲面可被以下參數式所定義:
![{\displaystyle x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b6c219bab02ca2afca400e25e9d349c3830f93)
![{\displaystyle y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c4e19a81ea4b0b6b9459fa2689f69a78512d78)
![{\displaystyle z=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d09d7699e757e50507e0990efef0193c1814bd0)
其中
,
且
為非零實數。
在圓柱座標系則有:
![{\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a44a776316eee755d997f33bbf705917a328f1)
其中
为实数。
理想状态下,把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开,就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界(铁环)下表面积最小的旋转曲面,根据这个原理,可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。
螺旋面變換
此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面
螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面,我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說,我們可以用一個連續且等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份,且在變型的每一瞬間,曲面皆為极小曲面。此變換可由下列式子給出:
![{\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4520b9ee154f16f3d8773aab6100c6455a2f2423)
![{\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b883bf02469b5982d7abd001c6b80b3f31afa7b)
![{\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36265e43a88c93c2b55527fe1aad52de44ea439e)
- 注意
,且變換參數
滿足
,
其中
對應到右旋螺旋面,
對應到懸鏈曲面,
對應到左旋螺旋面。
该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。
參見
- ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
- ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. (原始内容存档于2013-12-28) (英语).