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悬链曲面

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悬链曲面
A catenoid obtained from the rotation of a catenary
悬链线绕其准线旋转而得的悬链曲面

悬链曲面(又名悬垂曲面)是一个曲面,是将悬链线绕其准线旋转而得(见右侧动画),故为一旋转曲面。除了平面以外,悬链曲面也是第一个被发现的极小曲面,在1744年被莱昂哈德·欧拉发现且证明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有两个曲面既为旋转曲面又是最小曲面,即为平面与悬链曲面。[3] 悬链曲面可被以下参数式所定义:

其中为非零实数。 在圆柱座标系则有:

其中为实数。

理想状态下,把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开,就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界(铁环)下表面积最小的旋转曲面,根据这个原理,可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。

螺旋面变换

此动画展示了螺旋面如何变型成悬链曲面

螺旋面与悬链曲面属同一相关曲面,我们可以在不拉缩的情况下将悬链曲面扳成螺旋面。也就是说,我们可以用一个连续等距的变换将悬链曲面变成螺旋面的一部分,且在变型的每一瞬间,曲面皆为极小曲面。此变换可由下列式子给出:

注意,且变换参数满足

其中 对应到右旋螺旋面, 对应到悬链曲面, 对应到左旋螺旋面。

等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

参见

  1. ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
  2. ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. (原始内容存档于2013-12-28) (英语).