正则地区图

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立方体是一个球面上的正则地区图,因为立方体的结构(红色虚线)可以对应到球面上形成球面镶嵌(黑线),并将球面分割成6个正方形,且所形成的结构具有与正多面体等价的对称性
六面形是一个球面上的正则地区图,因为六面形可以透过将球面用2个顶点和6条边分割为6个球面二角形

数学中,正则地区图(regular map)是指封闭曲面上的对称镶嵌图。更精确地说,正则地区图是将某个二维流形分解为具对称性之拓朴盘面的分解结果,且该分解使得所有标记(含有点、边与面的三元组)都能在对称性上任意地变换为其他标记。举例来说,立方体对应的结构是一个正则地区图,因为立方体对应的球面镶嵌英语Spherical tiling可以透过将球面分解为由6个正方形组成的拓朴盘面,且构成该6个正方形的顶点、边和面(前三者的组合为立方体的标记)可以在立方体的对称性上任意地变换为其他标记,换句话说,这些顶点、边和面在特定轴上旋转90度可以重和一次。

某种意义上来说,正则地区图也可以视为柏拉图立体的概念在拓朴学上的一种推广。地区图理论及其分类与黎曼曲面理论、双曲几何理论和伽罗瓦理论有关。

概述

正则地区图的定义和研究通常会透过拓朴、群论和图论的三种方式进行。

从拓朴讨论

拓朴学中,地区图(map)是封闭且紧凑之2-流形的2-胞复形分解。其亏格可以用欧拉示性数导出。若地区图具备可定向性,则其值等于,否则为[1][2]除了环面之外,每个可定向亏格都有有限个(非零)正则地区图。[3]

从群论讨论

在群论中,正则地区图的排列是一个由标记构成的集合上的可迁格序置换群(transitive permutation group),由3个定点的自由对合r0, r1, r2,并满足(r0r2)2= I。在这个定义下,面为F = <r0r1>的轨道、边为E = <r0r2>的轨道、顶点为V = <r1r2>的轨道。更抽象地,任何正则地区图的自同构群都是 <2,m,n>-三角群的非退化同构图。[2]

从图论讨论

在图论中,地区图是一种立方图,其可以表示为以三种颜色染色的着色图(下文以红、黄、蓝三种颜色表示之),是一种连通图,且每个顶点都与所有颜色的边相接,非黄色的边出现周期为4。另外,这种图也是一种定义于顶点集合或标记集合上的标记图(flag graph)或图编码图英语Graph-encoded map(GEM),且非地区图的骨架 G = (V,E)。一般来说,|| = 4|E|。[4]

例子

以下是位于欧拉示性数为正之曲面上的正则地区图完整列表[8]

χ g 施莱夫利符号 顶点 阶数 备注
2 0 {p,2} p p 2 C2 × Dihp 4p Cp Undirected 6 cycle.svg 多边形二面体
2 0 {2,p} 2 p p C2 × Dihp 4p p-fold K2 多面形
2 0 {3,3} 4 6 4 S4 24 K4 3-simplex graph.svg 正四面体
2 0 {4,3} 8 12 6 C2 × S4 48 K4 ×英语Tensor product of graphs K2 3-cube column graph.svg 立方体
2 0 {3,4} 6 12 8 C2 × S4 48 K2,2,2英语Turán graph Complex tripartite graph octahedron.svg 正八面体
2 0 {5,3} 20 30 12 C2 × A5 120 Dodecahedron H3 projection.svg 正十二面体
2 0 {3,5} 12 30 20 C2 × A5 120 K6 × K2 Icosahedron A2 projection.svg 正二十面体
1 n1 {2p,2}/2 p p 1 Dih2p 4p Cp Undirected 6 cycle.svg 多边形二面体半形[9]
1 n1 {2,2p}/2 2 p p Dih2p 4p p-fold K2 多面形半形[9]
1 n1 {4,3}/2 4 6 3 S4 24 K4 3-simplex graph.svg 立方体半形
1 n1 {3,4}/2 3 6 4 S4 24 2-fold K3 八面体半形
1 n1 {5,3}/2 10 15 6 A5 60 佩特森图 Petersen1 tiny.svg 十二面体半形
1 n1 {3,5}/2 6 15 10 A5 60 K6 5-simplex graph.svg 二十面体半形

下图展示了3种在亏格为3之环面上的正则地区图,并标上对应的施莱夫利符号。

四维环形多面体

正则地区图也可以以环形多面体英语Toroidal_polyhedron的形式存在。这种几何结构是包裹在圆柱体的四维柱英语Duocylinder表面上之欧氏平面镶崁图之有限部分。例如由正方形镶嵌(施莱夫利符号:{4,4})的局部包裹在圆柱体的四维柱表面上所构成的正则地区图可以计为{4,4}b,c[10]。同理,若与正三角形镶嵌(施莱夫利符号:{3,6})或其对偶正六边形镶嵌(施莱夫利符号:{6,3})的正则地区图则可以计为{3,6}b,c与{6,3}b,c,其中b与c皆为整数[11]

正则地区图对应的环形多面体的展开图
Regular map 4-4 1-0.png
{4,4}1,0
(v:1, e:2, f:1)
Regular map 4-4 1-1.png
{4,4}1,1
(v:2, e:4, f:2)
Regular map 4-4 2-0.png
{4,4}2,0
(v:4, e:8, f:4)
Regular map 4-4 2-1.png
{4,4}2,1
(v:5, e:10, f:5)
Regular map 4-4 2-2.png
{4,4}2,2
(v:8, e:16, f:8)
Regular map 3-6 1-0.png
{3,6}1,0
(v:1, e:3, f:2)
Regular map 3-6 1-1.png
{3,6}1,1
(v:3, e:9, f:6)
Regular map 3-6 2-0.png
{3,6}2,0
(v:4, e:12, f:8)
Regular map 3-6 2-1.png
{3,6}2,1
(v:7, e:21, f:14)
Regular map 3-6 2-2.png
{3,6}2,2
(v:12, e:36, f:24)
Regular map 6-3 1-0.png
{6,3}1,0
(v:2, e:3, f:1)
Regular map 6-3 1-1.png
{6,3}1,1
(v:6, e:9, f:3)
Regular map 6-3 2-0.png
{6,3}2,0
(v:8, e:12, f:4)
Regular map 6-3 2-1.png
{6,3}2,1
(v:14, e:21, f:7)
Regular map 6-3 2-2.png
{6,3}2,2
(v:24, e:36, f:12)

形式为{4,4}m,0的正则地区图可以对应到形式为{4,4 | m}的扭歪正多面体,其代表每个面都是正方形,且每个顶点都是4个正方形的公共顶点,并形成m边形孔洞的几何结构。其可以由四维m角柱体柱的面建构。[12]

下图为{4,4}8,0从平面棋盘就构为环面的一个例子。这个例子可以不透过四维几何结构完成建构。

Torus from rectangle.gif

参考文献

  1. ^ Conder, Marston; Dobcsányi, Peter, Determination of all regular maps of small genus, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2001, 81 (2): 224–242, doi:10.1006/jctb.2000.2008 
  2. ^ 2.0 2.1 Nedela, Roman, Maps, Hypermaps, and Related Topics (PDF), 2007 [2020-08-14], (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04) .
  3. ^ 3.0 3.1 van Wijk, Jarke J., Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps (PDF), Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics), 2009, 28 (3): 12, doi:10.1145/1531326.1531355, (原始内容 (PDF)存档于2011-06-09) 
  4. ^ Marston D.E. Conder and Jicheng Ma. Regular maps with simple underlying graphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015, 110: 1 – 18 [2020-08-14]. ISSN 0095-8956. doi:10.1016/j.jctb.2014.07.001. (原始内容存档于2020-08-24). 
  5. ^ The hemicube. weddslist.com. [2020-08-14]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  6. ^ Gailiunas, Paul; 等. Polyhedral Models of the Projective Plane. Bridges 2018 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2018: 543–546. 
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因. Hosohedron. MathWorld. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  9. ^ 9.0 9.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. (原始内容存档 (PDF)于2015-09-23). 
  10. ^ Coxeter 1980[8], 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
  11. ^ Coxeter 1980[8], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  12. ^ Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262.