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正4294967295邊形

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正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形
類型正多邊形
對偶正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形(本身)
4294967295
頂點4294967295
對角線9223372026117357570
施萊夫利符號{4294967295}
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagramnode_1 4 2x 9 4 9 6 7 2x 9 5 node 
對稱群二面體群 (D4294967295), order 2×4294967295
面積
內角 o
179.99999991618°
內角和773094112740°
特性圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形等邊圖形

正4294967295边形是目前已知最大奇數可作圖多邊形。其內角和角度為773,094,112,740度,對角線則有9,223,372,026,117,357,570條。

特别地,正4294967295邊形可以尺规作图(仅用直尺和圆规来作图)来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个,只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图,然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个,而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数为3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295(OEIS數列A045544)。

性质

正4294967295边形的边数非常的多,几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小,只有:

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为:

其与圆的面积非常接近,这个数值也与圆周率非常接近,其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为:

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说,半径为1000千米的圆内接正4294967295邊形,其边长略低于1.5毫米。 此外,假设地球是一个半径为6378千米的完美球体,并考虑内接于大圆(例如赤道)的正4294967295邊形,则其边长略低于1厘米。

可作图性

4294967295是

它的素数分解是

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯证明了正n边形可作图的充分必要条件是n是相异费马素数的乘积与2的幂的乘积,即:

为相异费马素数,为非负整数)

因此,如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的,那么正4294967295边形就是边数最多的可作图正奇数边数多边形。[1][2][3]

參考資料

  1. ^ Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
  2. ^ Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
  3. ^ John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

參考書籍