跳转到内容
主菜单
主菜单
移至侧栏
隐藏
导航
首页
分类索引
特色内容
新闻动态
最近更改
随机条目
资助维基百科
帮助
帮助
维基社群
方针与指引
互助客栈
知识问答
字词转换
IRC即时聊天
联络我们
关于维基百科
搜索
搜索
目录
移至侧栏
隐藏
序言
1
含有'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'的积分
2
含有'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'的积分
3
含有'"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'的积分
4
含有 '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'的积分
5
含有 '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'的积分
6
含有 '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"'的积分
7
含有'"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"'的积分
8
含有'"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"'的积分
9
含有'"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"'的积分
10
含有三角函数的积分
11
含有反三角函数的积分
12
含有指数函数的积分
13
含有对数函数的积分
14
含有双曲函数的积分
15
定積分
开关目录
积分表
43种语言
Afrikaans
العربية
Башҡортса
Български
বাংলা
Bosanski
Català
Čeština
Чӑвашла
Deutsch
English
Español
Euskara
فارسی
Suomi
Français
Galego
客家語 / Hak-kâ-ngî
हिन्दी
Hrvatski
Magyar
Bahasa Indonesia
Italiano
日本語
ភាសាខ្មែរ
한국어
Lombard
Lietuvių
Latviešu
Македонски
Nederlands
Português
Română
Русский
Srpskohrvatski / српскохрватски
Slovenščina
Anarâškielâ
Српски / srpski
தமிழ்
Türkçe
Татарча / tatarça
Українська
Tiếng Việt
编辑链接
条目
讨论
不转换
不转换
简体
繁體
大陆简体
香港繁體
澳門繁體
大马简体
新加坡简体
臺灣正體
阅读
查看历史
工具
工具
移至侧栏
隐藏
操作
阅读
编辑
查看历史
常规
链入页面
相关更改
上传文件
特殊页面
固定链接
页面信息
引用此页
获取短链接
下载二维码
维基数据项目
打印/导出
下载为PDF
打印页面
外观
移至侧栏
隐藏
维基百科,自由的百科全书
此條目因为类似教学书籍已被提请移動到
維基教科書
。請前往“
頁面存廢討論
”討論以協助達成共識。
請參考
刪除指導
以獲取更多資料。
此條目
没有列出任何
参考或来源
。
(
2017年12月26日
)
維基百科所有的內容都應該
可供查證
。请协助補充
可靠来源
以
改善这篇条目
。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。
系列條目
微积分学
函数
极限论
微分学
积分
微积分基本定理
微积分发现权之争
(
英语
:
Leibniz–Newton calculus controversy
)
基础概念(含极限论和级数论)
實數性質
函数
单调性
初等函数
數列
极限
实数的构造
1=0.999…
无穷
銜尾蛇
無窮小量
ε-δ語言
实无穷
(
英语
:
Actual infinity
)
大O符号
最小上界
收敛数列
芝诺悖论
柯西序列
单调收敛定理
夹挤定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
斯托尔兹-切萨罗定理
上极限和下极限
函數極限
渐近线
邻域
连续
連續函數
不连续点
狄利克雷函数
稠密集
一致连续
紧集
海涅-博雷尔定理
支撑集
欧几里得空间
点积
叉积
三重积
拉格朗日恒等式
等价范数
坐標系
多元函数
[
錨點失效
]
凸集
巴拿赫不动点定理
级数
收敛级数
(
英语
:
convergent series
)
几何级数
调和级数
項測試
格兰迪级数
收敛半径
审敛法
柯西乘积
黎曼级数重排定理
函数项级数
(
英语
:
function series
)
一致收斂
迪尼定理
數列與級數
連續
函數
一元微分
差分
均差
微分
微分的线性
(
英语
:
linearity of differentiation
)
导数
流数法
二阶导数
光滑函数
高阶微分
莱布尼兹记号
(
英语
:
Leibniz's_notation
)
幽灵似的消失量
介值定理
中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
求导法则
乘积法则
广义莱布尼茨定则
(
英语
:
General Leibniz rule
)
除法定则
倒数定则
链式法则
洛必达法则
反函数的微分
Faà di Bruno公式
(
英语
:
Faà di Bruno's formula
)
对数微分法
导数列表
导数的函数应用
单调性
切线
极值
驻点
拐点
求导检测
(
英语
:
derivative test
)
凸函數
凹函數
簡森不等式
曲线的
曲率
埃尔米特插值
达布定理
魏尔施特拉斯函数
一元积分
积分表
定义
不定积分
定积分
黎曼积分
达布积分
勒贝格积分
积分的线性
求积分的技巧
换元积分法
三角换元法
分部积分法
部分分式积分法
降次积分法
微元法
积分第一中值定理
积分第二中值定理
微积分基本定理
反常積分
柯西主值
積分函數
Β函数
Γ函数
古德曼函数
椭圆积分
數值積分
矩形法
梯形公式
辛普森積分法
牛顿-寇次公式
积分判别法
傅里叶级数
狄利克雷定理
周期延拓
魏尔施特拉斯逼近定理
帕塞瓦尔定理
刘维尔定理
多元微积分
偏导数
隐函数
全微分
微分的形式不变性
二阶导数的对称性
全微分
方向導數
标量场
向量場
梯度
Nabla算子
多元
泰勒公式
拉格朗日乘数
黑塞矩陣
鞍點
多重积分
逐次积分
积分顺序
(
英语
:
Order of integration (calculus)
)
积分估值定理
旋转体
帕普斯-古尔丁中心化旋转定理
祖暅-卡瓦列里原理
托里拆利小号
雅可比矩阵
广义多重积分
高斯积分
若尔当曲线
曲线积分
曲面积分
施瓦茨的靴
(
俄语
:
Сапог Шварца
)
散度
旋度
通量
可定向性
格林公式
高斯散度定理
斯托克斯定理
及其
外微分
形式
若尔当测度
隐函数定理
皮亚诺-希尔伯特曲线
积分变换
卷积定理
积分符号内取微分
莱布尼茨积分定则
(
英语
:
Leibniz integral rule
)
多变量原函数的存在性
全微分方程
外微分的映射原像存在性
恰当形式
向量值函数
向量空间
内的
导数推广
(
英语
:
generalizations of the derivative
)
加托导数
弗雷歇导数
矩阵的微积分
(
英语
:
matrix calculus
)
弱微分
微分方程
常微分方程
柯西-利普希茨定理
皮亚诺存在性定理
分离变数法
级数展开法
积分因子
拉普拉斯算子
欧拉方法
柯西-欧拉方程
伯努利微分方程
克莱罗方程
全微分方程
线性微分方程
叠加原理
特徵方程式
朗斯基行列式
微分算子法
差分
方程
拉普拉斯变换
偏微分方程
拉普拉斯方程
泊松方程
施图姆-刘维尔理论
N体问题
积分方程
相关数学家
牛顿
莱布尼兹
柯西
魏尔斯特拉斯
黎曼
拉格朗日
欧拉
帕斯卡
海涅
巴罗
波尔查诺
狄利克雷
格林
斯托克斯
若尔当
达布
傅里叶
拉普拉斯
雅各布·伯努利
約翰·白努利
阿达马
麦克劳林
迪尼
沃利斯
费马
达朗贝尔
黑维塞
吉布斯
奥斯特罗格拉德斯基
刘维尔
棣莫弗
格雷果里
玛达瓦
(
英语
:
Madhava of Sangamagrama
)
婆什迦羅第二
阿涅西
阿基米德
历史名作
从无穷小量分析来理解曲线
(
英语
:
Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes
)
分析学教程
(
英语
:
Cours d'Analyse
)
无穷小分析引论
用无穷级数做数学分析
(
英语
:
De analysi per aequationes numero terminorum infinitas
)
流形上的微积分
(
英语
:
Calculus on Manifolds (book)
)
微积分学教程
纯数学教程
(
英语
:
A Course of Pure Mathematics
)
机械原理方法论
(
英语
:
The Method of Mechanical Theorems
)
分支学科
实变函数论
複分析
傅里叶分析
变分法
特殊函数
动力系统
微分几何
微分代数
向量分析
分数微积分
玛里亚温微积分
(
英语
:
Malliavin calculus
)
随机分析
最优化
非标准分析
查
论
编
由于列表比较长,
积分表
被分为以下几个部分:
有理函数积分表
无理函数积分表
指数函数积分表
对数函数积分表
高斯函数积分表
三角函数积分表
反三角函数积分表
双曲函数积分表
反双曲函数积分表
含有
a
x
+
b
{\displaystyle ax+b}
的积分
∫
(
a
x
+
b
)
n
d
x
=
(
a
x
+
b
)
n
+
1
a
(
n
+
1
)
+
C
{\displaystyle \int \ (ax+b)^{n}{\mbox{d}}x={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C}
∫
1
a
x
+
b
d
x
=
1
a
ln
|
a
x
+
b
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
∫
x
a
x
+
b
d
x
=
1
a
2
(
a
x
+
b
−
b
ln
|
a
x
+
b
|
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a^{2}}}(ax+b-b\ln \left|ax+b\right|)+C}
∫
x
2
a
x
+
b
d
x
=
1
2
a
3
[
(
a
x
+
b
)
2
−
4
b
(
a
x
+
b
)
+
2
b
2
ln
|
a
x
+
b
|
]
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{ax+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2a^{3}}}\left[(ax+b)^{2}-4b(ax+b)+2b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right]+C}
∫
1
x
(
a
x
+
b
)
d
x
=
−
1
b
ln
|
a
x
+
b
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x(ax+b)}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|+C}
∫
1
x
2
(
a
x
+
b
)
d
x
=
a
b
2
ln
|
a
x
+
b
x
|
−
1
b
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}(ax+b)}}{\mbox{d}}x={\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|-{\frac {1}{bx}}+C}
含有
a
+
b
x
{\displaystyle {\sqrt {a+bx}}}
的积分
∫
x
a
+
b
x
d
x
=
2
15
b
2
(
3
b
x
−
2
a
)
(
a
+
b
x
)
3
2
+
C
{\displaystyle \int x{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{15b^{2}}}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C}
∫
x
2
a
+
b
x
d
x
=
2
105
b
3
(
15
b
2
x
2
−
12
a
b
x
+
8
a
2
)
(
a
+
b
x
)
3
2
+
C
{\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{105b^{3}}}(15b^{2}x^{2}-12abx+8a^{2})(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C}
∫
x
n
a
+
b
x
d
x
=
2
b
(
2
n
+
3
)
x
n
(
a
+
b
x
)
3
2
−
2
n
a
b
(
2
n
+
3
)
∫
x
n
−
1
a
+
b
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x={\frac {2}{b(2n+3)}}x^{n}(a+bx)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2na}{b(2n+3)}}\int x^{n-1}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x}
∫
a
+
b
x
x
d
x
=
2
a
+
b
x
+
a
∫
1
x
a
+
b
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x}}{\mbox{d}}x=2{\sqrt {a+bx}}+a\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x}
∫
a
+
b
x
x
n
d
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
(
a
+
b
x
)
3
2
x
n
−
1
−
(
2
n
−
5
)
b
2
a
(
n
−
1
)
∫
a
+
b
x
x
n
−
1
d
x
,
n
≠
1
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n}}}{\mbox{d}}x={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {(a+bx)^{\frac {3}{2}}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-5)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}{\mbox{d}}x,n\neq 1}
∫
1
x
a
+
b
x
d
x
=
1
a
ln
(
a
+
b
x
−
a
a
+
b
x
+
a
)
+
C
,
a
>
0
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left({\frac {{\sqrt {a+bx}}-{\sqrt {a}}}{{\sqrt {a+bx}}+{\sqrt {a}}}}\right)+C,a>0}
=
2
−
a
arctan
a
+
b
x
−
a
+
C
,
a
<
0
{\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {-a}}}\arctan {\sqrt {\frac {a+bx}{-a}}}+C,a<0}
∫
x
a
+
b
x
d
x
=
2
(
a
+
b
x
)
3
2
3
b
2
−
(
2
a
)
a
+
b
x
b
2
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {a+bx}}}{\mbox{d}}x={\frac {2(a+bx)^{\frac {3}{2}}}{3b^{2}}}-{\frac {(2a){\sqrt {a+bx}}}{b^{2}}}}
∫
1
x
n
a
+
b
x
d
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
a
+
b
x
x
n
−
1
−
(
2
n
−
3
)
b
2
a
(
n
−
1
)
∫
1
x
n
−
1
a
+
b
x
d
x
,
n
≠
1
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{n}{\sqrt {a+bx}}}}{\mbox{d}}x={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-3)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {1}{x^{n-1}}}{\sqrt {a+bx}}{\mbox{d}}x,n\neq 1}
含有
x
2
±
α
2
{\displaystyle x^{2}\pm \alpha ^{2}}
的积分
∫
1
x
2
+
α
2
d
x
=
arctan
x
α
α
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+\alpha ^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {\arctan {\dfrac {x}{\alpha }}}{\alpha }}+C}
∫
1
±
x
2
∓
α
2
d
x
=
ln
(
x
∓
α
±
x
+
α
)
2
α
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\pm x^{2}\mp \alpha ^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {\ln \left({\dfrac {x\mp \alpha }{\pm x+\alpha }}\right)}{2\alpha }}+C}
含有
a
x
2
+
b
{\displaystyle {ax^{2}+b}}
的积分
∫
1
a
x
2
+
b
d
x
=
1
a
b
arctan
a
x
b
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{ax^{2}+b}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan {\frac {{\sqrt {a}}x}{\sqrt {b}}}+C}
含有
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
的积分
∫
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
=
a
x
3
3
+
b
x
2
2
+
c
x
+
C
{\displaystyle \int (ax^{2}+bx+c){\mbox{d}}x={\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+C}
含有
a
2
+
x
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\qquad (a>0)}
的积分
∫
a
2
+
x
2
d
x
=
1
2
x
a
2
+
x
2
+
1
2
a
2
ln
(
x
+
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C}
∫
x
2
a
2
+
x
2
d
x
=
1
8
x
(
a
2
+
2
x
2
)
a
2
+
x
2
−
1
8
a
4
ln
(
x
+
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{8}}x(a^{2}+2x^{2}){\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{8}}a^{4}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C}
∫
a
2
+
x
2
x
d
x
=
a
2
+
x
2
−
a
ln
(
a
+
a
2
+
x
2
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}{\mbox{d}}x={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right)+C}
∫
a
2
+
x
2
x
2
d
x
=
ln
(
x
+
a
2
+
x
2
)
−
a
2
+
x
2
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x^{2}}}{\mbox{d}}x=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}+C}
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
=
ln
(
x
+
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{\mbox{d}}x=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C}
∫
x
2
a
2
+
x
2
d
x
=
1
2
x
a
2
+
x
2
−
1
2
a
2
ln
(
a
2
+
x
2
+
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x\right)+C}
∫
1
x
a
2
+
x
2
d
x
=
1
a
ln
(
x
a
+
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {x}{a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\right)+C}
∫
1
x
2
a
2
+
x
2
d
x
=
−
a
2
+
x
2
a
2
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a^{2}x}}+C}
含有
x
2
−
a
2
(
x
2
>
a
2
)
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\qquad {(x^{2}>a^{2})}}
的积分
∫
1
x
2
−
a
2
d
x
=
l
n
|
x
+
x
2
−
a
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{\mbox{d}}x=ln|x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}
含有
a
2
−
x
2
(
a
2
>
x
2
)
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad (a^{2}>x^{2})}
的积分
∫
a
2
−
x
2
d
x
=
1
2
x
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+C}
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
a
+
C
=
−
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\mbox{d}}x=\arcsin {\frac {x}{a}}+C=-\arccos {\frac {x}{a}}+C}
∫
x
2
a
2
−
x
2
d
x
=
1
8
x
(
2
x
2
−
a
2
)
a
2
−
x
2
+
1
8
a
4
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\mbox{d}}x={\frac {1}{8}}x(2x^{2}-a^{2}){\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{8}}a^{4}\arcsin {\frac {x}{a}}+C}
∫
a
2
−
x
2
x
d
x
=
a
2
−
x
2
−
a
ln
(
a
+
a
2
−
x
2
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}{\mbox{d}}x={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C}
∫
a
2
−
x
2
x
2
d
x
=
−
a
2
−
x
2
x
−
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x^{2}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}-\arcsin {\frac {x}{a}}+C}
∫
1
x
a
2
−
x
2
d
x
=
−
1
a
ln
(
a
+
a
2
−
x
2
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C}
∫
x
2
a
2
−
x
2
d
x
=
−
1
2
x
a
2
−
x
2
+
1
2
a
2
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}+C}
∫
1
x
2
a
2
−
x
2
d
x
=
−
a
2
−
x
2
a
2
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}{\mbox{d}}x=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a^{2}x}}+C}
含有
R
=
|
a
|
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
{\displaystyle R={\sqrt {|a|x^{2}+bx+c}}\qquad (a\neq 0)}
的积分
∫
d
x
R
=
1
a
ln
(
2
a
R
+
2
a
x
+
b
)
(
for
a
>
0
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left(2{\sqrt {a}}R+2ax+b\right)\qquad ({\mbox{for }}a>0)}
∫
d
x
R
=
1
a
arsinh
2
a
x
+
b
4
a
c
−
b
2
(for
a
>
0
,
4
a
c
−
b
2
>
0
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}}
∫
d
x
R
=
1
a
ln
|
2
a
x
+
b
|
(for
a
>
0
,
4
a
c
−
b
2
=
0
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}}
∫
d
x
R
=
−
1
−
a
arcsin
2
a
x
+
b
b
2
−
4
a
c
(for
a
<
0
,
4
a
c
−
b
2
<
0
,
(
2
a
x
+
b
)
<
b
2
−
4
a
c
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{(for }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{, }}\left(2ax+b\right)<{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\mbox{)}}}
∫
d
x
R
3
=
4
a
x
+
2
b
(
4
a
c
−
b
2
)
R
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{3}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2})R}}}
∫
d
x
R
5
=
4
a
x
+
2
b
3
(
4
a
c
−
b
2
)
R
(
1
R
2
+
8
a
4
a
c
−
b
2
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{5}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2})R}}\left({\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)}
∫
d
x
R
2
n
+
1
=
2
(
2
n
−
1
)
(
4
a
c
−
b
2
)
[
2
a
x
+
b
R
2
n
−
1
+
4
a
(
n
−
1
)
∫
d
x
R
2
n
−
1
]
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n+1}}}={\frac {2}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\left[{\frac {2ax+b}{R^{2n-1}}}+4a(n-1)\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n-1}}}\right]}
∫
x
R
d
x
=
R
a
−
b
2
a
∫
d
x
R
{\displaystyle \int {\frac {x}{R}}\;{\mbox{d}}x={\frac {R}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R}}}
∫
x
R
3
d
x
=
−
2
b
x
+
4
c
(
4
a
c
−
b
2
)
R
{\displaystyle \int {\frac {x}{R^{3}}}\;{\mbox{d}}x=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2})R}}}
∫
x
R
2
n
+
1
d
x
=
−
1
(
2
n
−
1
)
a
R
2
n
−
1
−
b
2
a
∫
d
x
R
2
n
+
1
{\displaystyle \int {\frac {x}{R^{2n+1}}}\;{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{2n-1}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {{\mbox{d}}x}{R^{2n+1}}}}
∫
d
x
x
R
=
−
1
c
ln
(
2
c
R
+
b
x
+
2
c
x
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {c}}R+bx+2c}{x}}\right)}
∫
d
x
x
R
=
−
1
c
arsinh
(
b
x
+
2
c
|
x
|
4
a
c
−
b
2
)
{\displaystyle \int {\frac {{\mbox{d}}x}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)}
含有三角函数的积分
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos x{\mbox{d}}x=\sin x+C}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin x{\mbox{d}}x=-\cos x+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x{\mbox{d}}x=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x{\mbox{d}}x=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec x\tan x{\mbox{d}}x=\sec x+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc x\cot x{\mbox{d}}x=-\csc x+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan x{\mbox{d}}x=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec x\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\sin x\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\sec x+\tan x\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
=
ln
|
tan
x
−
sin
x
sin
x
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc x{\mbox{d}}x=\ln {\left|\csc x-\cot x\right|}+C=\ln {\left|{\tan x-\sin x \over \sin x\tan x}\right|}+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
1
n
sin
n
−
1
x
cos
x
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \sin ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\cos x+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
∫
sin
2
x
d
x
=
x
2
−
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x{\mbox{d}}x={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin {2x}}{4}}+C}
∫
cos
n
x
d
x
=
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \cos ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
∫
cos
2
x
d
x
=
x
2
+
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x{\mbox{d}}x={\frac {x}{2}}+{\frac {\sin {2x}}{4}}+C}
∫
tan
n
x
d
x
=
1
n
−
1
tan
n
−
1
x
−
∫
tan
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \tan ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n-1}}\tan ^{n-1}x-\int \tan ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
∫
tan
2
x
d
x
=
tan
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \tan ^{2}x{\mbox{d}}x=\tan x-x+C}
∫
cot
n
x
d
x
=
−
1
n
−
1
cot
n
−
1
x
−
∫
cot
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \cot ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n-1}}\cot ^{n-1}x-\int \cot ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
∫
cot
2
x
d
x
=
−
cot
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \cot ^{2}x{\mbox{d}}x=-\cot x-x+C}
∫
sec
n
x
d
x
=
1
n
−
1
sec
n
−
2
x
tan
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
sec
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \sec ^{n}x{\mbox{d}}x={\frac {1}{n-1}}\sec ^{n-2}x\tan x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
∫
csc
n
x
d
x
=
−
1
n
−
1
csc
n
−
2
x
cot
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
csc
n
−
2
x
d
x
+
C
∀
n
≥
2
{\displaystyle \int \csc ^{n}x{\mbox{d}}x=-{\frac {1}{n-1}}\csc ^{n-2}x\cot x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x{\mbox{d}}x+C\quad \forall n\geq 2}
含有反三角函数的积分
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin x{\mbox{d}}x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos x{\mbox{d}}x=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C}
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C}
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
sgn
(
x
)
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
=
x
arcsec
x
+
sgn
(
x
)
ln
|
x
−
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x{\mbox{d}}x=x\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
sgn
(
x
)
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
=
x
arccsc
x
−
sgn
(
x
)
ln
|
x
−
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x{\mbox{d}}x=x\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}
含有指数函数的积分
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}{\mbox{d}}x=e^{x}+C}
∫
α
x
d
x
=
α
x
ln
α
+
C
{\displaystyle \int \alpha ^{x}{\mbox{d}}x={\frac {\alpha ^{x}}{\ln \alpha }}+C}
∫
x
e
a
x
d
x
=
1
a
2
(
a
x
−
1
)
e
a
x
+
C
{\displaystyle \int xe^{ax}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a^{2}}}(ax-1)e^{ax}+C}
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
x
n
e
a
x
−
n
a
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}{\mbox{d}}x={\frac {1}{a}}x^{n}e^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}e^{ax}{\mbox{d}}x}
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
=
e
a
x
a
2
+
b
2
(
a
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\sin bx{\mbox{d}}x={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\sin bx-b\cos bx)+C}
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
=
e
a
x
a
2
+
b
2
(
a
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\cos bx{\mbox{d}}x={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\cos bx+b\sin bx)+C}
含有对数函数的积分
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x{\mbox{d}}x=x\ln x-x+C}
∫
log
α
x
d
x
=
1
ln
α
(
x
ln
x
−
x
)
+
C
{\displaystyle \int \log _{\alpha }x{\mbox{d}}x={\frac {1}{\ln \alpha }}\left({x\ln x-x}\right)+C}
∫
x
n
ln
x
d
x
=
x
n
+
1
(
n
+
1
)
2
[
(
n
+
1
)
ln
x
−
1
]
+
C
{\displaystyle \int x^{n}\ln x{\mbox{d}}x={\frac {x^{n+1}}{(n+1)^{2}}}[(n+1)\ln x-1]+C}
∫
1
x
ln
x
d
x
=
ln
(
ln
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x\ln {x}}}{\mbox{d}}x=\ln {(\ln {x})}+C}
含有双曲函数的积分
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x{\mbox{d}}x=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x{\mbox{d}}x=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
(
cosh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh x{\mbox{d}}x=\ln \left(\cosh x\right)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x{\mbox{d}}x=\ln \left|\sinh x\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arcsin
(
tanh
x
)
+
C
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\ x{\mbox{d}}x=\arcsin \left(\tanh x\right)+C=\arctan \left(\sinh x\right)+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\ x{\mbox{d}}x=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
定積分
∫
−
∞
∞
e
−
α
x
2
d
x
=
π
α
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}{\mbox{d}}x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
=
{
n
−
1
n
⋅
n
−
3
n
−
2
⋅
…
⋅
4
5
⋅
2
3
,
if
n
>
1
且
n
為 奇 數
n
−
1
n
⋅
n
−
3
n
−
2
⋅
…
⋅
3
4
⋅
1
2
⋅
π
2
,
if
n
>
0
且
n
為 偶 數
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sin}}^{n}x{\mbox{d}}x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{cos}}^{n}x{\mbox{d}}x={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&{\mbox{if }}n>1{\mbox{ 且 }}n{\mbox{為 奇 數 }}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}n>0{\mbox{ 且 }}n{\mbox{為 偶 數 }}\end{cases}}}
[
1
]
查
论
编
积分表
有理函數
無理函數
三角函數
反三角函數
雙曲函數
反雙曲函數
指數函數
對數函數
高斯函數
本条目是
列表索引
。
如果您是通过某條目的
内部链接
而转到本页,希望您能協助修正该處的内部链接,將它指向正确的条目。
^
这是沃利斯公式的一个情形,详见
沃利斯乘积
分类
:
列表索引
积分表
微积分
数学列表
数学恒等式
隐藏分类:
拒绝当选首页新条目推荐栏目的条目
条目删除候选
移动到维基教科书候选
所有刪除候選
自2017年12月缺少来源的条目
條目中存在錯誤錨點