在数学动力系统的研究中,稳定(或不稳定)流形指的是以指数率趋向(或远离)某一不变集的点的集合。
定义
以下提供迭代函数或離散動態系統情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。
令
是拓扑空间,
是同胚的。如果
是
的不動點,
的穩定集定義為
![{\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74a53669e09e8ced4434ee859e479289e446ba)
而
的不稳定集定義為
![{\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e41fbe801407b9de5edd7475b2b02a23614992)
其中
是
的反函數。
如果
是一個周期為
的週期點,那麼他就是
的不動點,而且對其穩定集和不穩定集有
![{\displaystyle {\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=W^{s}(f^{k},p),\\W^{u}(f,p)&=W^{u}(f^{k},p).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd14e9b5dc1cf2d9dfd8ae0a0b17c0156556deaf)
給定
的邻域
,
的局部穩定和不穩定集分別定義為
![{\displaystyle {\begin{aligned}W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)&=\{q\in U:f^{n}(q)\in U\;\forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\},\\W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)&=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee5e18718f1497c40bc449c5f44c3b2bdc292d6)
如果
可度量化,那麼對任意點
也可以定義稳定和不稳定集為
![{\displaystyle {\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \},\\W^{u}(f,p)&=W^{s}(f^{-1},p),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281830ad40adb9d3cc1b1a8d9a0da7f90db9ae5e)
其中
是
的度量(這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合)。
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參考資料