简单函数(英語:simple function)又稱單純函數,是实分析中只取有限個實值的可测函数。
定义
集合
上有Σ-代数
,若對函数
,存在
和
,使得:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b368ec0161b845943d9b36712d7d45d52e6b20c6)
其中
代表集合
的指示函數,即:
![{\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\in A\\0,&{\mbox{if }}x\not \in A\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6bbc15c729b4ece637b1e36377d8014c0719f2)
則
稱為簡單函數,也就是說,简单函数是可测集合(即
的元素)的指示函数的有限线性组合。
範例
- 半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
- 实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。
性质
根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。
證明
对每个正整數
,把
分成
個區間,也就是取
,对于
。
以及
![{\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56320888cac265d85502399dbd6aea60291d868d)
然後定义可测集合
,对于
。
則可對每個正整數
定義非負简单函数
如下
![{\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600e1822bb25e3b06508e1e4cd09587eae71fd33)
也就構成了一個非負遞增簡單函數序列
。
這樣的話,取任意
, 都存在正整數
使得
![{\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5d6e3707f4bf3e37bfc647691d633e3ca7f95f)
這樣的話,只要
的話,都會存在正整數
使得
![{\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3467e966b962718d88ee0f1bbb793d0e97795275)
所以有
![{\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facae0a992514891c778b00531ee6ea54a1ba682)
再考慮到,對任意正實數
,都存在正整數
使得
![{\displaystyle 2^{m}\epsilon >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41549bb67c4053a41c42e84a6fdb4dfbfa99b1b9)
所以總結一下,對任意正實數
,取正整數
,就會有
![{\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de575681af7ffdde25254fe5f754ce0573cac92)
所以簡單函數序列
的確會逐点收敛至
。
注意到若
是有界的,那存在一個跟點
選取無關的正整數
使得
![{\displaystyle 2^{n}>f(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c78131d896728cb6f69c14721ac1746a1fac3ab)
那這樣的話,對任意正實數
,取正整數
,就會得到一致收斂。
简单函数的积分
测度
定义在
的Σ-代数
上,若簡單函數
可表達為
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c43ab71208b04dbcca2709328e68fdb3358269e)
則
於某個
上,對測度
的勒贝格积分定義為:
![{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}\cap E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b97bb2e5744aa51f2a033057f99548a6c23bee)
参考文献
- J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
- S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
- W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
- H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.