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簡單函數

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簡單函數(英語:simple function)又稱單純函數,是實分析中只取有限個實值的可測函數

定義

集合 上有Σ-代數 ,若對函數 ,存在 ,使得:

其中 代表集合 指示函數,即:

稱為簡單函數,也就是說,簡單函數是可測集合(即 的元素)的指示函數的有限線性組合

範例

  • 半開區間[1,9)上的取整函數,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
  • 實直線上的狄利克雷函數,如果x是有理數,則函數的值為1,否則為0。

性質

根據定義,兩個簡單函數的和、差與積,以及一個簡單函數與常數的積也是簡單函數,因此可推出所有簡單函數在複數域上形成了一個交換代數。

定理 — 集合 上有Σ-代數 ,任何非負,在 可測的 都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的,若 有界的,則此簡單函數序列是一致收斂

證明

對每個正整數 ,把 分成 個區間,也就是取

,對於

以及

然後定義可測集合

,對於

則可對每個正整數 定義非負簡單函數 如下

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列

這樣的話,取任意 , 都存在正整數 使得

這樣的話,只要 的話,都會存在正整數 使得

所以有

再考慮到,對任意正實數 ,都存在正整數 使得

所以總結一下,對任意正實數 ,取正整數 ,就會有

所以簡單函數序列 的確會逐點收斂至

注意到若 是有界的,那存在一個跟點 選取無關的正整數 使得

那這樣的話,對任意正實數 ,取正整數 ,就會得到一致收斂。

簡單函數的積分

測度 定義在 Σ-代數 上,若簡單函數 可表達為

於某個 上,對測度 勒貝格積分定義為:

參考文獻

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.