线性微分方程(英語:Linear differential equation)是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15eb5b15599f9cae6e7ffc2e1e5762a7e28accf)
其中方程左侧的微分算子
是线性算子,y是要解的未知函数,方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0,那么方程(*)的解的线性组合仍然是解,所有的解构成一个向量空间,称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时,所有的解构成一个仿射空间,由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程,也可以是偏微分方程。
简介
线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间,因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15eb5b15599f9cae6e7ffc2e1e5762a7e28accf)
其中的
是一个线性的微分算子,也就是说,设有两个函数
和
以及两个常数
和
,那么:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2})=\lambda _{1}{\mathcal {L}}(y_{1})+\lambda _{2}{\mathcal {L}}(y_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb2e9b57b275e1ae891bd0903dd3f645f4bb005)
如果f是零函数,那么给定若干个方程(*)的解函数:
以及同样多的常数系数:
,线性组合
仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V,称为方程的解空间。如果f不是零函数,那么考虑相应的齐次线性微分方程:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(**)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfbbc177b63df78d34008cc316a55adc926c461)
设
是方程(*)的一个解函数。
方程(**)的任意一个解函数。则它们的和
仍然是(*)的解函数。另一方面,给定方程(*)的两个解函数:
和
。则它们的差
会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成
的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V',并且
。
常系数齐次线性微分方程
一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的,他意识到这类方程的解都具有
的形式,其中
是某个复数。因此,对于以下方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f92ad0a0a35fbb8f2f08b1ab0774fc74a73ef56)
我们设
,可得:
![{\displaystyle z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3851be6fd75ded6ceb8f3387ec9413af5086a5)
两边除以e zx,便得到了一个n次方程:
![{\displaystyle F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c61113d2bbc675ed77fff1926e2e05d8934d677)
这个方程F(z) = 0称为特征方程。
一般地,把微分方程中以下的项
![{\displaystyle {\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edd988badf240bc15af5e5e02e011ed30ed750d)
换成zk,便可得到特征方程。这个方程有n个解:z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx,便可以得到微分方程的一个解:e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。
如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的n个解。可以证明,这些解是线性独立的。于是,微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + …… + Cne znx,其中C1、C2、……、Cn是常数。
以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个(或多个)相同,用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是,可以验证,如果z是特征方程的 mz 重根,那么,对于
,
就是微分方程的一个解。对每个特征根 z,都能得到 mz 个解,所有这些解的线性组合就是方程的通解。
一般地,如果微分方程的系数Ai都是实数,那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根,那么它一定是成对的,也就是说,如果a + bi是特征方程的根,那么a - bi也是一个根。于是,y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解,我们可以把这两个解相加,再除以2,利用欧拉公式,便得到一个实数形式的解:y = e axcosbx。如果把两个解相减,再除以2i,便得到另一个实数形式的解:y = e axsinbx。于是,y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。
例子
求微分方程
的通解。特征方程是
,它的根是2+i和2−i。于是,
就是微分方程的通解。
常系数非齐次线性微分方程
欲得到非齐次线性微分方程的通解,我们首先求出对应的齐次方程的通解,然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解,把它们相加,就是非齐次方程的通解。
待定系数法
考虑以下的微分方程:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c12ab776c281d0ee16ba9cde98722fc44389854)
对应的齐次方程是:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e174c19138c597f3b55302ef6a4788cdf7e5fddb)
它的通解是:
![{\displaystyle y=ce^{x}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad86e94ae864b658760454db466932fbb2bb819c)
由于非齐次的部分是(
),我们猜测特解的形式是:
![{\displaystyle y_{p}=Ae^{2x}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2275c0721cab976aacab36605e32083582df4f)
把这个函数以及它的导数代入微分方程中,我们可以解出A:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b66ce31e7e5a4eac54371e967448ffa94c7fff)
![{\displaystyle 2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355794214050c42764e10b677c31d08baa4dcd7d)
![{\displaystyle 2A=A+1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f97a6dcfe9cf2c20bcc7f5764da82e8b815cd5)
![{\displaystyle A=1.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb27e6a73eef401ccf764c0870ecfe1c036350c2)
因此,原微分方程的解是:
(
)
常数变易法
假设有以下的微分方程:
![{\displaystyle y^{\prime \prime }+py^{\prime }+qy=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde52645db8a157a950f92066dc001709a587bbe)
我们首先求出对应的齐次方程的通解
,其中C1、C2是常数,y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解,方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2,也就是:
![{\displaystyle y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm {(1)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f082ec3cfc75f6d14971e17675fa56c64218cb)
两边求導數,可得:
![{\displaystyle y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41255877e38ab3ca0d678eeb82f9245df593908b)
我们把函数u1、u2加上一条限制:
![{\displaystyle u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm {(2)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c498aef60c063c2c1f181b00da80e5cc616532f)
于是:
![{\displaystyle y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm {(3)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd97a06018e28d72bb435a7ca1535c224e53ac9)
两边再求導數,可得:
![{\displaystyle y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm {(4)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb8484bde2a7bf4a12e644c0b9646dd6867691a)
把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中,可得:
![{\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2c93baaf9c45f9f60208631c5280f207d450bf)
整理,得:
![{\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a92ebcae315c0ae366ed085b32371a5378a654d)
由于y1和y2都是齐次方程的通解,因此
和
都变为零,故方程化为:
![{\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm {(5)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e534c32e1bc0f723acc157a454655b72f7ed57ad)
(2)和(5)联立起来,便得到了一个
和
的方程组,便可得到
和
的表达式;再积分,便可得到
和
的表达式。
这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有:
![{\displaystyle u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d279f355fe0fdf3ef9927a14301bf6f0b4e8f0f)
其中W表示朗斯基行列式。
变系数线性微分方程
n阶的变系数微分方程具有以下形式:
![{\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec71d0ed27c90f5a4c5867e0df2e962042c4850b)
一个例子是柯西-欧拉方程:
![{\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c929f06f739bccd397cf36af4310874a4ec44e)
变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解,但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程:
![{\displaystyle \ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a74dc33c46faf700d310b6535ef08751243d9e5)
这个方程可以用积分因子求解,方法是把两边乘以
:
![{\displaystyle Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5ce4894bb0959ae22619d8d748c3c7645a1b0a)
用乘法定则,可以简化为:
![{\displaystyle D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec893be4adc2d35c0591ad4427a3f82490dcdbf)
两边积分,得:
![{\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e97ba05b19736067059aae6c41f457c329c8f6)
![{\displaystyle y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e42c50fdb01b4ca3e07e1a6fed93a6b4b0b9f99)
也就是说,一阶线性微分方程
的解是:
![{\displaystyle y=e^{-a(x)}\left(\int r(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9ef4b0647cf2cb457c3424a0255ec78459f416)
其中
是积分常数,且
![{\displaystyle a(x)=\int {p(x)\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af8b3590f8cbbfa7fbc973c2053cd9975a9afb0)
例子
考虑以下一阶线性微分方程:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad597468c370e11aab76fa797eef11db1160fefe)
p(x) = b,r(x) = 1,因此微分方程的解为:
![{\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963357f92e78d03232745186ad3ab89d39a34aa7)
拉普拉斯变换解微分方程
应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。
首先有以下关系:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c4778e0226d35ab990383602960a029c80af87)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864209046b4627ad57e2e380695e107c8f922d17)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d903a9ae9ea2aee47663bca139c9a1061a6b8b)
有如下微分方程:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc75af88fdf0e0b096868d328d6a6f83e6bd41e)
该方程可变换为:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8021ebd9e4c0f56a8fa2024416e7a38cc862e6ea)
则:
其中
是初始条件。
f(t) 通过拉普拉斯反变换
求得。
参见
参考文献
- Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.