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随机测度

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概率论中,随机测度测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中,随机测度形成了许多重要的点过程,例如泊松点过程考克斯过程英语Cox process

定义

随机测度可以定义为转移核随机元素。对于一些标准情况(其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间),这两种定义是等价的。

作为转移核

对于可测空间 ,称 是一个 转移核,是指它是一个二元函数 (值域可能根据考虑的测度的类型而改变,如有符号测度),且满足以下性质:

  • 若在第二变元处填充任一固定的可测集 ,所得到的映射 上的可测函数
  • 若在第一变元处填充任一固定的元素 ,所得到的映射 上的一个测度

对于 博雷尔空间的情况,局部有限转移核可视作随机元素。

随机测度则定义为一个概率空间 到一个可测空间 的(几乎必然局部有限转移核

随机过程的背景下,马尔可夫核(也称随机核、概率核)的概念与此相关。

作为随机元素

在前文中,「在第一变元处填充一固定的元素」的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个[註 1] 可测函数,其中 上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合 若要构成可测空间,须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合 ,可定义求值映射(也称投影映射

可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数,称为 生成的(或诱导的)σ-代数。

随机测度即是一个概率空间 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。[1][2][3]

基本相关概念

强度测度

对于给定随机测度 和任一正可测函数 ,满足

的测度 被称为 强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在,并且是s-有限测度

支撑测度

对于给定的随机测度 和任一正可测函数 ,满足

的测度 被称为 支撑测度。所有随机测度都有支撑测度,并且可以选择为有限的。

拉普拉斯变换

给定随机测度 ,可定义任一正可测函数 拉普拉斯变换如下

基本性质

积分的可测性

给定随机测度 ,正的 -可测函数 的积分

是可测的,所以它们是随机变量

唯一性

随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定

其中 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 (即 )的半环 ,随机测度的分布也由所有正简单 -可测函数 唯一确定。[4]

分解

一个测度通常可以分解为:

这里 是弥散测度,而 是一种纯原子测度。

随机计数测度

具有下列形式的随机测度称为点过程随机计数测度

其中 狄拉克测度 是随机变量。该随机测度描述了 个粒子的集合,其位置由(通常是向量值的)随机变量 给出。计数测度没有弥散分量

在上述的形式记号中,随机计数测度是从概率空间到可测空间 的映射。这里 是全体有界有限整数值测度(称为计数测度 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用,例如蒙特卡罗数值求积法粒子滤波器[5]

参见

参考资料

  • Grandell, Jan. Point processes and random measures. Advances in Applied Probability. 1977-09, 9 (3): 502–526. doi:10.2307/1426111. 

文内引用

  1. ^ Kallenberg, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. 2017: 1. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
  2. ^ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 526. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. ^ Daley, D. J.; Vere-Jones, D. An Introduction to the Theory of Point Processes. Probability and its Applications. 2003. ISBN 0-387-95541-0. doi:10.1007/b97277. 
  4. ^ Kallenberg, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. 2017: 52. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. 
  5. ^ "Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6

注释

  1. ^ 技术上来说,可能默认提及的博雷尔空间带有局部化结构。