1 + 2 + 3 + 4 + …
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無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和,是一个发散级数,其數學式也寫作
尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透過黎曼ζ函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:
部分和公式的证明
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自然数從 1 加到 n 的和是 能用许多方法证明。首先令
我们将这些项重排反着写:
将两者相加,对应项相加,我们得到
ζ函数的求和与解析连续性
当 s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数等于求和 。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 。
1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外給其定義,其拉马努金求和的结果為 [1]。
物理
在玻色弦理論中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为一组 无关量子谐振子,这里 是时空的维数。如果基本振子频率是 则一个振子对 级谐波的贡献是 。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。
一个类似的计算是计算卡西米尔力。
历史
在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):
- “亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布羅米奇的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列 。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。」[2]
注释
引用
- Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
- Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.
延伸阅读
- Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, 248: 327–340 [2008-12-13]. (原始内容存档于2018-12-01).
- Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
- Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.
外部链接
- 数学物理每周发现(124周)(页面存档备份,存于互联网档案馆),(126周)(页面存档备份,存于互联网档案馆),(147周)(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12 的证明
- 所有自然数的和等于负十二分之一视频(页面存档备份,存于互联网档案馆)
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