仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形 ，是数学 中的几何 结构 ，这种结构是欧式空间 的仿射 特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。
仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移 向量，或称平移 向量。如果
X
{\displaystyle X}
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
重心坐标 。
所有向量空间都可看作仿射空间。若
X
{\displaystyle X}
L
⊆
X
{\displaystyle L\subseteq X}
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
a
+
L
=
{
a
+
l
:
l
∈
L
}
{\displaystyle a+L=\{a+l:l\in L\}}
a
{\displaystyle a}
X
{\displaystyle X}
n
<
∞
{\displaystyle n<\infty }
X
{\displaystyle X}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间 ，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点
p
{\displaystyle p}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
p
{\displaystyle p}
a
{\displaystyle a}
p
{\displaystyle p}
b
{\displaystyle b}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
p
+
(
a
−
p
)
+
(
b
−
p
)
{\displaystyle p+(a-p)+(b-p)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
线性组合 ，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！
图中Alice为甲,Bob为乙 如果乙从他的原点
p
{\displaystyle p}
λ
a
+
(
1
−
λ
)
b
{\displaystyle \lambda a+(1-\lambda )b}
p
+
λ
(
a
−
p
)
+
(
1
−
λ
)
(
b
−
p
)
=
λ
a
+
(
1
−
λ
)
b
{\displaystyle p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b}
仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的“线性结构”，但是甲和乙都知道空间的“仿射结构”，也就是空间中所有仿射组合 的值。
那么对于所有满足
λ
+
(
1
−
λ
)
=
1
{\displaystyle \lambda +(1-\lambda )=1}
称集合
A
{\displaystyle A}
仿射空间 ，是指其满足如下性质：
存在一个与之相伴的向量空间
B
{\displaystyle B}
存在一个映射
f
:
A
×
B
→
A
(
a
,
v
)
↦
a
+
v
{\displaystyle f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}}
右幺性：
∀
a
∈
A
,
a
+
0
B
=
a
{\displaystyle \forall a\in A,a+0_{B}=a}
结合律：
∀
α
,
β
∈
B
,
a
∈
A
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in B,a\in A}
(
a
+
α
)
+
β
=
a
+
(
α
+
β
)
{\displaystyle (a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )}
正则性：给定
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
∃
f
a
:
B
→
A
{\displaystyle \exists f_{a}:B\rightarrow A}
双射 . 从定义中不难得出集合
A
{\displaystyle A}
∀
α
∈
B
,
f
β
:
a
↦
a
+
α
{\displaystyle \forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha }
减法：
∀
a
,
b
∈
A
,
∃
α
∈
B
{\displaystyle \forall a,b\in A,\exists \alpha \in B}
b
=
a
+
α
{\displaystyle b=a+\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
b
−
a
{\displaystyle b-a}
另一种等价的定义可以表述为：集合
A
{\displaystyle A}
仿射空间 , 是指存在某个向量空间
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
加法群 的群作用 是自由 且可迁 的.
Cameron, Peter J., Projective and polar spaces , QMW Maths Notes 13 , London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09 ] , MR 1153019 , （原始内容存档 于2020-07-06） Coxeter, Harold Scott MacDonald , Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons , 1969, ISBN 978-0-471-50458-0MR 123930 Dolgachev, I.V. ; Shirokov, A.P., A/a011100 , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry , Dover Publications ; Reprint edition (October 1989)
