仿射空間 （英文: Affine space)，又稱線性流形 ，是數學 中的幾何 結構 ，這種結構是歐式空間 的仿射 特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
仿射空間中沒有特定的原點，因此不能將空間中的每一點和特定的向量對應起來。仿射空間中只有從一個點到另一個點的位移 向量，或稱平移 向量。如果
X
{\displaystyle X}
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
重心坐標 。
所有向量空間都可看作仿射空間。若
X
{\displaystyle X}
L
⊆
X
{\displaystyle L\subseteq X}
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
a
+
L
=
{
a
+
l
:
l
∈
L
}
{\displaystyle a+L=\{a+l:l\in L\}}
a
{\displaystyle a}
X
{\displaystyle X}
n
<
∞
{\displaystyle n<\infty }
X
{\displaystyle X}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
非正式描述 下面的非正式描述可能比正式的定義更容易理解。仿射空間像是沒有原點的向量空間 ，其中向量只有方向和大小。假設有甲乙兩人，其中甲知道一個空間中真正的原點，但是乙認為另一個點
p
{\displaystyle p}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
p
{\displaystyle p}
a
{\displaystyle a}
p
{\displaystyle p}
b
{\displaystyle b}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
p
+
(
a
−
p
)
+
(
b
−
p
)
{\displaystyle p+(a-p)+(b-p)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
線性組合 ，通常情況下他們會得到不同的結果。然而，請注意：如果線性組合係數的和為1，那麼甲和乙將得到同樣的結果！
圖中Alice為甲,Bob為乙 如果乙從他的原點
p
{\displaystyle p}
λ
a
+
(
1
−
λ
)
b
{\displaystyle \lambda a+(1-\lambda )b}
p
+
λ
(
a
−
p
)
+
(
1
−
λ
)
(
b
−
p
)
=
λ
a
+
(
1
−
λ
)
b
{\displaystyle p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b}
仿射空間就是這樣產生的：定義仿射組合為係數和為1的線性組合；甲知道空間的「線性結構」，但是甲和乙都知道空間的「仿射結構」，也就是空間中所有仿射組合 的值。
那麼對於所有滿足
λ
+
(
1
−
λ
)
=
1
{\displaystyle \lambda +(1-\lambda )=1}
定義 稱集合
A
{\displaystyle A}
仿射空間 ，是指其滿足如下性質：
存在一個與之相伴的向量空間
B
{\displaystyle B}
存在一個映射
f
:
A
×
B
→
A
(
a
,
v
)
↦
a
+
v
{\displaystyle f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}}
右幺性：
∀
a
∈
A
,
a
+
0
B
=
a
{\displaystyle \forall a\in A,a+0_{B}=a}
結合律：
∀
α
,
β
∈
B
,
a
∈
A
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in B,a\in A}
(
a
+
α
)
+
β
=
a
+
(
α
+
β
)
{\displaystyle (a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )}
正則性：給定
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
∃
f
a
:
B
→
A
{\displaystyle \exists f_{a}:B\rightarrow A}
雙射 . 從定義中不難得出集合
A
{\displaystyle A}
∀
α
∈
B
,
f
β
:
a
↦
a
+
α
{\displaystyle \forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha }
減法：
∀
a
,
b
∈
A
,
∃
α
∈
B
{\displaystyle \forall a,b\in A,\exists \alpha \in B}
b
=
a
+
α
{\displaystyle b=a+\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
b
−
a
{\displaystyle b-a}
另一種等價的定義可以表述為：集合
A
{\displaystyle A}
仿射空間 , 是指存在某個向量空間
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
加法群 的群作用 是自由 且可遷 的.
參閱 參考文獻 Cameron, Peter J., Projective and polar spaces , QMW Maths Notes 13 , London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09 ] , MR 1153019 , （原始內容存檔 於2020-07-06） Coxeter, Harold Scott MacDonald , Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons , 1969, ISBN 978-0-471-50458-0MR 123930 Dolgachev, I.V. ; Shirokov, A.P., A/a011100 , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry , Dover Publications ; Reprint edition (October 1989)
