在数学中,克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ)
是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。
。
克罗内克函数的值一般简写为
。
克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。
其它记法
另一种标记方法是使用艾佛森括号(得名于肯尼斯·艾佛森):
。
同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为
:
。
在线性代数中,克罗内克函数可以被看做一个张量,写作
。
数字信号处理
冲激函数
类似的,在数字信号处理中,与克罗内克函数等价的概念是变量为
(整数)的函数:
。
这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时,输出的函数被称为此单元的冲激响应。
性质
克罗内克函数有筛选性:对任意
:
。
如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间,那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的:
。
实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定
为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。
线性代数中的应用
在线性代数中,单位矩阵可以写作
。
在看做是张量时(克罗内克张量),可以写作
。
这个(1,1)向量表示:
- 作为线性映射的单位矩阵。
- 迹数。
- 内积
。
- 映射
,将数量乘积表示为外积的形式。
广义克罗内克函数
定义广义克罗内克函数为
矩阵的行列式,以方程式表达为[1]
;
其中,
是个张量函数,定义为
。
以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式:
。
。
。
;
- 其中,
和
是列维-奇维塔符号。
。
。
;
其中,
是
阶张量。
积分表示
对任意的整数
,运用标准的留数计算,可以将克罗内克函数表示成积分的形式:
;
其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。
这个表示方式与下面的另一形式等价:
。
参见
参考文献
- ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, (原始内容存档于2020-01-06)