在數學中,克羅內克函數(又稱克羅內克δ函數、克羅內克δ)
是一個二元函數,得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函數的自變量(輸入值)一般是兩個整數,如果兩者相等,則其輸出值為1,否則為0。
。
克羅內克函數的值一般簡寫為
。
克羅內克函數和狄拉克δ函數都使用δ作為符號,但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標,而狄拉克δ函數則只有一個變量。
其它記法
另一種標記方法是使用艾佛森括號(得名於肯尼斯·艾佛森):
。
同時,當一個變量為0時,常常會被略去,記號變為
:
。
在線性代數中,克羅內克函數可以被看做一個張量,寫作
。
數位訊號處理
衝激函數
類似的,在數位訊號處理中,與克羅內克函數等價的概念是變量為
(整數)的函數:
。
這個函數代表著一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時,輸出的函數被稱為此單元的衝激響應。
性質
克羅內克函數有篩選性:對任意
:
。
如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間,那麼這個性質和狄拉克δ函數的定義是一樣的:
。
實際上,狄拉克δ函數是根據克羅內克函數而得名的。在信號處理中,兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定
為連續的情況(狄拉克函數) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等變量一般是在 離散的情況下(克羅內克函數)。
線性代數中的應用
在線性代數中,單位矩陣可以寫作
。
在看做是張量時(克羅內克張量),可以寫作
。
這個(1,1)向量表示:
- 作為線性映射的單位矩陣。
- 跡數。
- 內積
。
- 映射
,將數量乘積表示為外積的形式。
廣義克羅內克函數
定義廣義克羅內克函數為
矩陣的行列式,以方程式表達為[1]
;
其中,
是個張量函數,定義為
。
以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式:
。
。
。
;
- 其中,
和
是列維-奇維塔符號。
。
。
;
其中,
是
階張量。
積分表示
對任意的整數
,運用標準的留數計算,可以將克羅內克函數表示成積分的形式:
;
其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。
這個表示方式與下面的另一形式等價:
。
參見
參考文獻
- ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, (原始內容存檔於2020-01-06)