在数学里,积度量(product metric)是在两个以上度量空间之笛卡尔积内的度量。n 个度量空间之笛卡尔积的积度量,可视为是将 n 个子空间的范数作为 n 维向量之各分量,取其 p-范数所得之值。
![{\displaystyle d_{p}(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})=\|(d_{1}(\mathbf {x} _{1}),\dots ,d_{n}(\mathbf {x} _{n}))\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837ef16535cceaec6d5741cd935ecc41a8d2e4f0)
定义
令
与
为度量空间,且令
。
上之 p-积度量
定义为
- 对于
及
,
for ![{\displaystyle 1\leq p<\infty ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f2937a18cf05ad5569838da996831323e2994c)
![{\displaystyle d_{\infty }\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\max \left\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e544a7c7698a32b741a06ff8af78c0ac0e8541)
范数的选择
在欧氏空间里,使用 L2 范数会在积空间里产生欧几里得度量;不过,选择 p 的其他值也会形成其他拓扑等价的度量空间。在度量空间范畴(具有利普希茨常数为 1 的利普希茨映射)里,使用上确界范数。
参考资料