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代数扩张

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代数扩张(英语:Algebraic extension)是抽象代数域扩张的一类。一个扩张L/K被称作代数扩张若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多项式的根。反之则称之为超越扩张。最简单的代数扩张例子有:

定义

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/KL某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多项式的根,则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K为代数扩张。

次数

设有域扩张L/KL可以看作是K上的向量空间,将其维度称作这个扩张的次数,记作[L:K]。有限次数的扩张(简称有限扩张)都是代数扩张;反之,给定一个代数扩张L/K,则L里的任一元素α生成的子扩张K(α)/K都是K的有限扩张。但代数扩张本身并不一定是有限扩张,一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限

代数扩张与多项式的根

在一个代数扩张L/K中,L中的每个元素α都是某个以K中元素为系数的多项式(以下简称K-多项式,所有K-多项式的集合记作K[X]f的根。所有以α为根的K-多项式中次数最低者称作α极小多项式(通常要求其为首一多项式,即最高次项系数等于一,以保证唯一性)。极小多项式总是不可约多项式。

K-多项式f不可约,则商环L := K[X]/( f )K的一个域扩张,它的次数[L : K] = deg(f),而且不定元X在商环中的像是在f的一个在L中的根,其极小多项式正是f。通过这种构造,我们可抽象地加入某个多项式的根。例如就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域:复数域

给定域扩张L/K,如果K-多项式f可以在L中分解成一次因子的积,则称fL分裂。根据上述构造,总是可以找到一个足够大的代数扩张K'/K使得f分裂;K'里满足此性质的“最小”子扩张称作fK上的分裂域fK上的任两个分裂域至多差一个K上的同构(即:一个限制在K上的部分为恒等映射环同构)。

正规扩张

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一个代数扩张L/K被称作正规扩张,若且唯若它满足下述三个等价条件之一:

  • 固定代数闭包Kalg,任何K上的(即在K上是恒等映射的)域嵌入σ : LKalg,都有σ(L) = L
  • 存在一族在L上分裂的多项式,使得L/K是在K中添加它们的根生成的域扩张。
  • K[X]中任何不可约多项式若在L里有根,则在L里分裂(全部的根都在L里面)。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着K[X]里的一个多项式。

例子

  • 上的分裂域是
  • 上的分裂域是
  • 上的分裂域是
  • 是正规域扩张, 却不是,因为后者并没有包括的所有根,欠了

可分扩张

L/K为代数扩张,如果α的极小多项式没有重根,则称α可分(重根的存在性与域扩张的选取无关,可分性等价于(f, f' ) = 1,这可以直接在K中计算)。所有可分元素形成一个中间域KFL[L : K]s := [Ls : K]称作L/K可分次数。若Ls = ; L,则称L/K可分扩张

L/K是有限扩张时,定义不可分次数[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。当基域的特征为零时,任何代数扩张都是可分的;任何有限域的扩张也都是可分的。

参考文献

外部链接