欧氏平面几何中,婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形的面积的公式,以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式。
基本形式
婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为:
![{\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bb6f53fd4ca88e345a311cabd057a894800c08)
其中s为半周长:
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a6c920113669712d86ee8baf3c58fc683de8dd)
证明
圆内接四边形的面积 =
的面积 +
的面积
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa3ac96481179a47ac6651e138bfc0f9c9f84b8)
但由于
是圆内接四边形,因此
。故
。所以:
![{\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cf7527a016705d4acd680fb5a28d72fa3ad3b5)
![{\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb18f2f15d4b32fa6f7c9ee5d88096f831e2152)
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa17191494e6f4a98bd46e515ac0715f7cd3ea8)
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0a797a903c54510411e662dfcaf5f41bfa9adc)
对
和
利用余弦定理,我们有:
![{\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cecba1e23227589f6afa4731ac1d4d1cb4c719)
代入
(这是由于
和
是互补角),并整理,得:
![{\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60cee5c8b593789b02866684f12b8dd6cbbaae5)
把这个等式代入面积的公式中,得:
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554aa349d97cf6912430e1aec68a93bb5ed100cb)
![{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060450a58b6bb8a5384b9245f3c522a4c7fb0036)
它是
的形式,因此可以写成
的形式:
![{\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b65d5b62b3949dc245f56c3d88295b1f953870)
![{\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389f3fb3ec2407821704c894329c2981798621ed)
![{\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1de6c7074782fb30c8fbf282074a90ba1d71cda)
引入
,
![{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95020ba1593bd18680476eea23dbc23ca5b870a2)
两边开平方,得:
![{\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c47599c37695471a37c75f0ac8b1b167a0e665)
证毕。
更特殊情况
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,且外切于圆C,则其面积为:
![{\displaystyle {\sqrt {abcd}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7aa6c150fb0af44d6e1a6acf01b44e25258087)
证明
由于四边形内接于圆O,所以:
![{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4016e4957d9ae7f25ec1941dcb23ab5412ded81)
其中p为半周长:
![{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42743749b160ae9c8c398ae0df7e3121d5249ccd)
又因为四边形外切圆C,所以:
![{\displaystyle a+c=b+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ef6bd66c184b2f27a91e0bcac1d41fb2073063)
则:
![{\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e973eeefdfecbe54f273c94bf8ed0f7b9cfd299c)
同理:
,
,
综上:
证毕。
一般情况
布雷特施奈德公式
对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式,其叙述如下:
![{\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0869b948d7880c13ff38a4b9508c1a99f00b4b93)
其中
是四边形一对对角和的一半。
注意到不论取到哪一对对角
的值都一样,因为四边形的内角和是
,故如果选取到的是另一对角,其对角和的一半是
。而
,所以有
。
假设此时四边形恰好四顶点共圆,由于圆内接四边形的对角和为
,因此
,而且由
,可推得此时
,布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。
柯立芝公式
另一个由柯立芝所证明的公式如下[1]:
![{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a5887a216f6507a9e638ff8858d26102b161e4)
其中 p 及 q 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中,根据托勒密定理我们有
,此公式退化回为婆罗摩笈多公式。
相关定理
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取
的特殊情形。
婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至馀弦定理一般。
- ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.