跳转到内容

婆罗摩笈多公式

维基百科,自由的百科全书

欧氏平面几何中,婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形面积的公式,以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式

基本形式

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为:

其中s半周长

证明

圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积

但由于是圆内接四边形,因此。故。所以:

利用余弦定理,我们有:

代入(这是由于互补角),并整理,得:

把这个等式代入面积的公式中,得:

它是的形式,因此可以写成的形式:

引入

两边开平方,得:

证毕。

更特殊情况

若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,且外切于圆C,则其面积为:

证明

由于四边形内接于圆O,所以:

其中p为半周长:

又因为四边形外切圆C,所以:

则:

同理:

综上:

证毕。

一般情况

布雷特施奈德公式

对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式,其叙述如下:

其中 是四边形一对对角和的一半。

注意到不论取到哪一对对角 的值都一样,因为四边形的内角和是 ,故如果选取到的是另一对角,其对角和的一半是 。而 ,所以有

假设此时四边形恰好四顶点共圆,由于圆内接四边形的对角和为 ,因此 ,而且由 ,可推得此时 ,布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。

柯立芝公式

另一个由柯立芝所证明的公式如下[1]

其中 pq 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中,根据托勒密定理我们有,此公式退化回为婆罗摩笈多公式。

相关定理

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取的特殊情形。

婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。

  1. ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.