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意外绞刑悖论

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意外绞刑悖论(英语:Unexpected hanging paradox),又称老虎悖论突击测验悖论意外考试悖论,是博弈论中一个著名的逻辑悖论,流传较广。而悖论是指一种导致矛盾的命题。

老虎悖论

有一天,某个国王处决一个死囚,但给他一个免死的机会,如果可以证明我在说谎就把你放了。国王把囚犯带到一个房间,该房间有五道紧闭的门,其中一道门后面关着一只老虎。国王对囚犯说:“这五道门各有次序,你必须由第一道至第五道依序打开,其中一道门后有老虎,会把你咬死。但我可以肯定的是,在你没有打开那道有老虎的门之前,你万万料想不到老虎在哪一道门的后面。”显然,如果死囚预料到老虎在哪道门后面,就证明国王在撒谎,那么他就可以活命。所以开门之前,死囚进行了如下逻辑学的分析:假如老虎在第五道门,那把前四道门打开,都没发现老虎,那肯定猜到老虎在第五道门中,因国王说过死囚料想不到老虎在哪一道门,那国王的话就错了。所以,国王不会把老虎放在第五道门。同理,老虎也不在第四道门中,否则囚犯打开三道门之后,就只剩两道门,老虎既不在第五道门,就一定在第四道门,这样他就猜出老虎在哪了;以此类推,老虎不存在于任何一道门中;于是死囚心安了,冒冒失失地依次开门,结果老虎从第二道门中跳了出来,把囚犯咬死了。国王说:“我不是跟你说了,老虎在哪道门,你万万料想不到么?”

悖论分析

如果囚犯的推理成立,那么就算国王把老虎放在第五扇门后,也是“万万料想不到”,学者们争论的重点在于:这个推理究竟错在第几步?

主张错在第一步

如果第一步是正确的,那么后面几步为什么是错的?所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。

首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”),如果投机猜测算的话,那国王不论怎样放都不能保证不被猜中,所以带投机成分的猜测不能算“知道”(国王为了自身利益也会这么定义),设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推理”,那么囚犯不仅要正确预测老虎,还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况,即囚犯已知必有一头老虎。作为囚犯,他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理,如果能推出老虎是在即将打开的门里就赢了,如果不能推出,他就只能打开这个门,如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎,依此类推。

然后,把问题从5个门,简化为只有2个门,囚犯会在打开第一个门之前,对第一个门里是否有老虎做逻辑推理:由于囚犯要引用国王的思路,故须先考虑国王思路是否是会错。

  1. 如果相信国王是不会错的,那么你不可能推测出第一个门里有没有,因为如果推测出就说明国王会错,所以在这个前提下不可能知道。 囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎,必然要打开第一个门。
  2. 如果相信国王是会错的:
    囚犯首先认为国王放第二个门是错的,但国王既然是会错的,他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢?所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据,无法推测出第一个门里有没有老虎,必然要打开第一个门。

因此国王应且只应放到第一个门中,则国王必胜。

推广到n个门的情况,只要国王不把老虎放到最后一个门,则国王必胜,囚犯必败。

主张错在第二步

故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但,国王并不知道囚犯是否会这样,所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”,那么在前四扇门都没有老虎之后,第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。

既然老虎在第五扇门的话,它一定是“可预料的”,那么当你已经开了三扇空门时,情况是怎么样?我们可以试著写成逻辑式子:前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时,可预料。前提三、老虎不在第五扇门时,就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时,可预料。结论:前提互相矛盾。

请注意:这时的逻辑推理中,既然前提互相矛盾,必定有一个以上不成立,那么可能性就是以下四个其中之一、或是更多:

  1. 老虎可预料。
  2. 老虎如果在第五扇门时,不可预料。
  3. 老虎不在第五扇门时,也不一定在第四扇门。
  4. 老虎如果在第四扇门时,不可预料。

二和四自身是矛盾命题,不考虑,三会导致老虎变成薛定谔猫,也就是既存在亦非存在的状态(囚犯把老虎往前门推是错误的,因为前提中包含“已经开了三扇空门”)。所以可能性只有一个:老虎可预料。但若老虎可预料,那么显示国王说谎,如果国王可能说谎,那么老虎也真的有可能消失。

这时的正确结论是:国王一定说谎,但他的谎言可能是“老虎可预料”,却也可能是“根本没老虎”,囚犯只是偏心于一个可能性,结果帮国王圆谎罢了。

主张错在最后一步

如果“不可预料”并不是一种保证,而只意味“高机率”,“有老虎”才是保证,那么情况又整个改观。可以列成以下状况:

如果囚犯连猜五次“老虎不在”,则不可预料率100%,当然是最糟的状况。

如果囚犯连猜五次“老虎在”,这时应将不可预料率一样视为100%。假设国王随便放,因为平均猜错次数是两次,亦即猜错一次要加不可预料率50%才公平。

假设国王随便放,这时囚犯采用的策略,以:

  1. 先两次不猜,再连续猜老虎在:成功率0、0、100、50、0,平均30最高分
  2. 先三次不猜,再连续猜老虎在:成功率0、0、0、100、50,平均也是30最高分
  3. 但以上两种高分解,前两扇门都是安全门,必须混合下列解答灵活运用
  4. 如果第一次就猜老虎在:成功率100、50、0、-50、-50,平均只有10分
  5. 如果第二次就猜老虎在:成功率0、100、50、0、-50,平均也有20分
  6. 为了便于计算,假设这四种策略囚犯都平均运用,综合以上,老虎放在不同门的平均不可预料率,75%、87.5%、75%、50%、100%

很明显了,这时国王的对应策略,如果把老虎放在失分最低的第五扇门,可能被囚犯豪赌赌中,所以把老虎放在失分次低的第二扇门会是最佳选择,只要把囚犯的猜中率压在20%以下,都可以毫无愧色说是有很高的不可预料率。

他应该从“老虎不存在”这个矛盾的结论,导出国王所谓的“不可预料”其实是指机率,再从机率上推测国王到底把老虎放在第几个门。

意外绞刑悖论

一位司法大臣宣布,将于礼拜一到礼拜天之间,出乎囚犯意料之外的一天,对某一位死囚处以绞刑,并会在前一天事先宣布。

该死囚开始逻辑推论:从礼拜一到礼拜天都可能处死我,而我是不知道究竟会是哪一天,所以哪一天都算是出乎我的意料之外。可是假设我顺利的活到了礼拜六,我不就可以确定要在礼拜天把我杀了?这样的话,就在我的意料之中了。礼拜天已经被排除了,如果我活到了礼拜五,我又可以确信不会在礼拜六处刑,如果礼拜六要杀我,也算是我的意料之中。如果继续往前推的话,他不能在任何一天把我绞死。”

可是到了礼拜三,他却得到了次日要把他送上绞刑架的消息。事实上,这是他没有预料到的。

解疑

死囚的推论几乎都是假设。事实上在礼拜天以外的任何一日处死他,对他来说都是意料之外的。

突击测验悖论

一名老师宣布:“下星期一至星期五之中,会有一天举行突击测验,所谓突击测验,就是在你们猜不到的日子考试。”学生们进行逻辑推理,若假设直到星期四还未考,那么星期五就会考,那就不算突击,因此星期五不可能考。若星期三没考,而星期五又不会考,大家就知道礼拜四会考……也算不了突击。以此类推,老师根本不可能进行突击测验。可实际上突击测验的决定权在老师身上,礼拜二老师就发了考卷。

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