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意外絞刑悖論

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意外絞刑悖論(英語:Unexpected hanging paradox),又稱老虎悖論突擊測驗悖論意外考試悖論,是博弈論中一個著名的邏輯悖論,流傳較廣。而悖論是指一種導致矛盾的命題。

老虎悖論

有一天,某個國王處決一個死囚,但給他一個免死的機會,如果可以證明我在說謊就把你放了。國王把囚犯帶到一個房間,該房間有五道緊閉的門,其中一道門後面關着一隻老虎。國王對囚犯說:「這五道門各有次序,你必須由第一道至第五道依序打開,其中一道門後有老虎,會把你咬死。但我可以肯定的是,在你沒有打開那道有老虎的門之前,你萬萬料想不到老虎在哪一道門的後面。」顯然,如果死囚預料到老虎在哪道門後面,就證明國王在撒謊,那麼他就可以活命。所以開門之前,死囚進行了如下邏輯學的分析:假如老虎在第五道門,那把前四道門打開,都沒發現老虎,那肯定猜到老虎在第五道門中,因國王說過死囚料想不到老虎在哪一道門,那國王的話就錯了。所以,國王不會把老虎放在第五道門。同理,老虎也不在第四道門中,否則囚犯打開三道門之後,就只剩兩道門,老虎既不在第五道門,就一定在第四道門,這樣他就猜出老虎在哪了;以此類推,老虎不存在於任何一道門中;於是死囚心安了,冒冒失失地依次開門,結果老虎從第二道門中跳了出來,把囚犯咬死了。國王說:「我不是跟你說了,老虎在哪道門,你萬萬料想不到麼?」

悖論分析

如果囚犯的推理成立,那麼就算國王把老虎放在第五扇門後,也是「萬萬料想不到」,學者們爭論的重點在於:這個推理究竟錯在第幾步?

主張錯在第一步

如果第一步是正確的,那麼後面幾步為什麼是錯的?所以第一步就錯了。錯在囚犯把國王的思路作為論據。

首先必須定義怎樣算國王所謂的「知道」(或「意料」),如果投機猜測算的話,那國王不論怎樣放都不能保證不被猜中,所以帶投機成分的猜測不能算「知道」(國王為了自身利益也會這麼定義),設「知道」定義為「在即有事實下的邏輯推理」,那麼囚犯不僅要正確預測老虎,還要對其預測給出嚴格的邏輯證明才行。本例中不考慮沒有老虎的情況,即囚犯已知必有一頭老虎。作為囚犯,他在每次打開一個門前都會進行邏輯推理,如果能推出老虎是在即將打開的門裏就贏了,如果不能推出,他就只能打開這個門,如果打開後沒有老虎就繼續推理下一個門是否有老虎,依此類推。

然後,把問題從5個門,簡化為只有2個門,囚犯會在打開第一個門之前,對第一個門裏是否有老虎做邏輯推理:由於囚犯要引用國王的思路,故須先考慮國王思路是否是會錯。

  1. 如果相信國王是不會錯的,那麼你不可能推測出第一個門裏有沒有,因為如果推測出就說明國王會錯,所以在這個前提下不可能知道。 囚犯無法推測出第一個門裏有沒有老虎,必然要打開第一個門。
  2. 如果相信國王是會錯的:
    囚犯首先認為國王放第二個門是錯的,但國王既然是會錯的,他為何不會按囚犯認為錯誤的思路放第二個門呢?所以國王的思路就沒法唯一的推測了。囚犯失去國王的思路做論據,無法推測出第一個門裏有沒有老虎,必然要打開第一個門。

因此國王應且只應放到第一個門中,則國王必勝。

推廣到n個門的情況,只要國王不把老虎放到最後一個門,則國王必勝,囚犯必敗。

主張錯在第二步

故事中的囚犯最後決定相信「沒有老虎」。但,國王並不知道囚犯是否會這樣,所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信「一定有老虎」,那麼在前四扇門都沒有老虎之後,第五扇門後的老虎的確就變成「可預料的」了。

既然老虎在第五扇門的話,牠一定是「可預料的」,那麼當你已經開了三扇空門時,情況是怎麼樣?我們可以試着寫成邏輯式子:前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時,可預料。前提三、老虎不在第五扇門時,就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時,可預料。結論:前提互相矛盾。

請注意:這時的邏輯推理中,既然前提互相矛盾,必定有一個以上不成立,那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多:

  1. 老虎可預料。
  2. 老虎如果在第五扇門時,不可預料。
  3. 老虎不在第五扇門時,也不一定在第四扇門。
  4. 老虎如果在第四扇門時,不可預料。

二和四自身是矛盾命題,不考慮,三會導致老虎變成薛定諤貓,也就是既存在亦非存在的狀態(囚犯把老虎往前門推是錯誤的,因為前提中包含「已經開了三扇空門」)。所以可能性只有一個:老虎可預料。但若老虎可預料,那麼顯示國王說謊,如果國王可能說謊,那麼老虎也真的有可能消失。

這時的正確結論是:國王一定說謊,但他的謊言可能是「老虎可預料」,卻也可能是「根本沒老虎」,囚犯只是偏心於一個可能性,結果幫國王圓謊罷了。

主張錯在最後一步

如果「不可預料」並不是一種保證,而只意味「高概率」,「有老虎」才是保證,那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況:

如果囚犯連猜五次「老虎不在」,則不可預料率100%,當然是最糟的狀況。

如果囚犯連猜五次「老虎在」,這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放,因為平均猜錯次數是兩次,亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。

假設國王隨便放,這時囚犯採用的策略,以:

  1. 先兩次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、100、50、0,平均30最高分
  2. 先三次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、0、100、50,平均也是30最高分
  3. 但以上兩種高分解,前兩扇門都是安全門,必須混合下列解答靈活運用
  4. 如果第一次就猜老虎在:成功率100、50、0、-50、-50,平均只有10分
  5. 如果第二次就猜老虎在:成功率0、100、50、0、-50,平均也有20分
  6. 為了便於計算,假設這四種策略囚犯都平均運用,綜合以上,老虎放在不同門的平均不可預料率,75%、87.5%、75%、50%、100%

很明顯了,這時國王的對應策略,如果把老虎放在失分最低的第五扇門,可能被囚犯豪賭賭中,所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇,只要把囚犯的猜中率壓在20%以下,都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

他應該從「老虎不存在」這個矛盾的結論,導出國王所謂的「不可預料」其實是指概率,再從概率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

意外絞刑悖論

一位司法大臣宣佈,將於禮拜一到禮拜天之間,出乎囚犯意料之外的一天,對某一位死囚處以絞刑,並會在前一天事先宣佈。

該死囚開始邏輯推論:從禮拜一到禮拜天都可能處死我,而我是不知道究竟會是哪一天,所以哪一天都算是出乎我的意料之外。可是假設我順利的活到了禮拜六,我不就可以確定要在禮拜天把我殺了?這樣的話,就在我的意料之中了。禮拜天已經被排除了,如果我活到了禮拜五,我又可以確信不會在禮拜六處刑,如果禮拜六要殺我,也算是我的意料之中。如果繼續往前推的話,他不能在任何一天把我絞死。」

可是到了禮拜三,他卻得到了次日要把他送上絞刑架的消息。事實上,這是他沒有預料到的。

解疑

死囚的推論幾乎都是假設。事實上在禮拜天以外的任何一日處死他,對他來說都是意料之外的。

突擊測驗悖論

一名老師宣佈:「下星期一至星期五之中,會有一天舉行突擊測驗,所謂突擊測驗,就是在你們猜不到的日子考試。」學生們進行邏輯推理,若假設直到星期四還未考,那麼星期五就會考,那就不算突擊,因此星期五不可能考。若星期三沒考,而星期五又不會考,大家就知道禮拜四會考……也算不了突擊。以此類推,老師根本不可能進行突擊測驗。可實際上突擊測驗的決定權在老師身上,禮拜二老師就發了考卷。

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