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排序不等式

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排序不等式数学上的一条不等式。它可以推导出很多有名的不等式,例如算术几何平均不等式(简称算几不等式),柯西不等式,和切比雪夫总和不等式。它是说:

如果 ,和 是两组实数。而 的一个排列。排序不等式指出

以文字可以说成是顺序和不小于乱序和,乱序和不小于逆序和。与很多不等式不同,排序不等式不需限定的正负。

证明

排序不等式可以用数学归纳法证明。关键在于下列结果:

,则有

移项得出

重复以上步骤便可得出排序不等式。


我们设 原序列的前 个数的和,即

为打乱顺序后的序列, 表示乱序后的前 个数的和。所以有

注意到 ,则

得证。