群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义

令 $G$ 为一个群， $X$ 为一个集合， $G$ 在 $X$ 上的一个(左) 群作用 $\alpha$ 是一个二元函数

\alpha :G\times X\rightarrow X

该函数满足如下两条公理：

对所有 $g,h\in G$ 以及 $x\in X$ ， $\alpha (gh,x)=\alpha (g,\alpha (h,x))$ 。
对每个 $x\in X$ ，有 $\alpha (e,x)=x$ ( $e$ 为群 $G$ 的单位元)。

一般称群 $G$ （在左边）作用于集合 $X$ 上，或称 $X$ 是一个 $G$ -集合。

为简化在群作用 $\alpha$ 上使用的符号，我们可以将其柯里化：令 $\alpha _{g}:X\rightarrow X$ 为由单个元素 $g$ 给出的映射 $x\mapsto \alpha (g,x)$ ，这样可以通过考虑函数集 $\{\alpha _{g}\mid g\in G\}$ 来研究群作用。上述两条公理可以写作

$\alpha _{e}(x)=x$
$\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)$

其中 $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}$ 表示两函数的复合。所以第二条公理说明函数的复合可以与群运算互相对应，它们可以组成一个交换图表。该公理甚至可以简写为 $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}$ 。

$\alpha (g,x)$ 一般简写为 $g\cdot x$ 或 $gx$ 。

由上述两条公理可知，对固定的元素 $g\in G$ ，从 $X$ 映射到 $X$ $x\mapsto g\cdot x$ 是一个双射（单射和满射的条件可以分别通过考虑 $g^{-1}$ 和 $e$ 给出）。因此，也可以将 $G$ 在 $X$ 上的群作用定义为从 $G$ 到对称群上 $S_{X}$ 的群同态。

右群作用

我们可以类似地定义一个 $G$ 在 $X$ 上的右群作用为函数 $X\times G\rightarrow X$ ，满足以下公理：

$x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
$x\cdot e=x$

注意左和右作用的区别仅在于像 $gh$ 这样的积在 $x$ 上作用的次序。左群作用中， $h$ 先作用，然后才到 $g$ ，而对于右作用 $g$ 先作用，然后才到 $h$ 。右作用与群上的逆操作复合可以构造出一个左作用。如果 $r$ 为一右作用，则

l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})

是一左作用，因为

l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,

而

l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,

所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

群作用的种类

群G作用在集合X上的作用称为:^[1]

递移性(Transitive): 如果X是一个非空集合，对于每对数对 x,y $\in$ X，则存在一个g $\in$ G，使得 $g\cdot x=y$ ，我们就称此作用为递移性。
忠实性(Faithful): 如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中，我们就称此作用为忠实的。换言之，就是群G到X的置换群之中为单射。
自由性(Free): 如果给定 $g,h\in G$ ，存在 $x\in X$ ，则有著 $g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$ ，则称为此作用为自由性。
正则的(Regular): 同时具有自由性以及递移性的作用称为正则的，又称简单递移（英语：simply transitive）。
n-递移性(n-transitive): 如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 对所有 1 ≤ k ≤ n ，我们就称其为n-递移性。
本原的(Primitive): 如果递移性作用满足只有trivial区块(block)，那我们称此作用为本原的。可以证明n-递移性皆为本原的。

轨道与稳定化子

轨道

令群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，对 $X$ 中的元素 $x$ ， $x$ 在 $G$ 上的轨道是 $X$ 的子集，定义为

\{g\cdot x\mid g\in G\}

记作 $G\cdot x$ 或 $Gx$ 。

集合 $X$ 的两个轨道要么相等，要么完全不相交，因此轨道是集合的一个划分。如果两个轨道 $G\cdot x$ 和 $G\cdot y$ 存在公共元素 $a$ ，那么存在两个 $G$ 中的元素 $m$ 和 $n$ ，使得 $a=m\cdot x\in G\cdot x$ ， $a=n\cdot y\in G\cdot y$ 。因而 $x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in G\cdot y$ ，反之亦可推出 $y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in G\cdot x$ ，所以两个集合相等。

轨道的一个例子是陪集，假若 $H$ 是 $G$ 的一个子集，且定义 $G$ 中元素的惯常运算规则为 $H$ 在 $G$ 上的一个作用，那么 $H$ 的陪集 $aH$ ( $a\in G$ )就是 $a$ 的轨道。

不变子集

令 $S$ 为 $X$ 的一个子集，群 $G$ 作用在 $X$ 上，对于群 $G$ 中的所有元素 $g$ ，以及所有 $S$ 中的元素 $s$ ，有 $g\cdot s\in S$ ，则我们会说 $S$ 在 $G$ 的作用下是封闭的。

若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一个元素，对于群 $\mathrm {G}$ 中的所有元素 $g$ 而言，都有 $g\cdot x=x$ ，那么就称 $x$ 是 $\mathrm {G}$ -不变的（ $\mathrm {G}$ -invariant）。

不动点与稳定子群

令 $g\in G$ 和 $x\in X$ ，如果 $g\cdot x=x$ ，则 $x$ 是关于 $g$ 的一个不动点。

对 $X$ 的元素 $x$ ，所有令 $g\cdot x=x$ 的 $G$ 中的元素 $g$ 构成的集合称为 $G$ 关于 $x$ 的稳定子群，记作 $G_{x}$ 或 $Stab_{G}(x)$ 。

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}

。

$G_{x}$ 是 $\mathrm {G}$ 的一个子群，因为根据定义 $e\cdot x=x\in G_{x}$ ，因此 $G$ 的单位元 $e$ 在 $G_{x}$ 中。如果 $m\in G_{x}$ ，那么 $m$ 的逆元 $m^{-1}$ 也是 $\mathrm {Gx}$ 的元素，因为 $x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$ 。

轨道－稳定点定理

轨道与稳定子群紧密相关。令群 $G$ 作用在 $X$ 上，令 $X$ 中的 $x$ ，考虑映射 $f:G\rightarrow X$ ， $g\mapsto g\cdot x$ 。该映射的值域等于轨道 $G\cdot x$ 。 $G$ 中的两元素 $g$ 和 $h$ 的像 $f(g)$ 和 $f(h)$ 相同的条件是

f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G\cdot x\iff h\in gG\cdot x

。

换言之， $f(g)=f(h)$ 当且仅当 $g$ 和 $h$ 在稳定子群 $G_{x}$ 的同一个陪集中。所以所有在轨道 $G\cdot x$ 中的元素 $y$ 的原像都包含于某个陪集中，每个陪集的像亦为 $X$ 的一个单元素集合。因此 $f$ 事实上是 $G_{x}$ 的所有陪集与 $X$ 的元素的一一对应， $f:G/G_{x}\rightarrow X$ 是一个双射函数。