在代数拓扑学中,拓扑空间之贝蒂数
是一族重要的不变量,取值为非负整数或无穷大。直观地看,
是连通分支之个数,
是沿著闭曲线剪开空间而保持连通的最大剪裁次数。更高次的
可藉同调群定义。
“贝蒂数”一词首先由庞加莱使用,以义大利数学家恩里科·贝蒂命名。
定义
空间
的第
个贝蒂数(
为非负整数)定义为
![{\displaystyle b_{k}=\dim H_{k}(X;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2110226612260efb85cc72a565d0a7f139eb8ffc)
上式的同调群可以任意域为系数。
例子
- 圆环
的贝蒂数依次为
。
- 二维环面的贝蒂数依次为
。
- 三维环面的贝蒂数依次为
。
- 一般而言,
维环面的贝蒂数由二项式系数给出,此命题可透过下节叙述的性质证明。
- 无穷维空间可以有无穷多个非零的贝蒂数,例如无穷维复射影空间
的贝蒂数依次为
(周期为二)。
性质
闭曲面的第一个贝蒂数描述了曲面上的“洞”数。环面之
;一般而言,闭曲面的
等于“洞”或“把手”个数之两倍。可定向紧闭曲面可由其
完全分类。
有限单纯复形或CW复形的贝蒂数有限。当
大于复形维度时,
。
对于有限 CW 复形,定义其庞加莱多项式为贝蒂数的生成函数
![{\displaystyle P_{X}(z):=\sum _{k}b_{k}z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b3ccfe2f5e9b78a5dde221ad9f074d11d3f2a5)
对于任意
,有
![{\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e429aea0b89fbc65444d287f619958e7d7144c65)
对于
-维可定向闭流形
,庞加莱对偶定理给出贝蒂数的对称性
![{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b543ece227677b0469be7ac456fcba0894e3d5)
贝蒂数与微分形式
在微分几何及微分拓扑中,所论的空间
通常是闭流形,此时拓扑不变量
可以由源自流形微分结构的微分形式计算。具体言之,考虑复形
![{\displaystyle 0\to A^{0}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{1}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{2}(X)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe53aaeec166d937087ee316b941788686e1a90)
其中
表
次微分形式构成的向量空间,
为外微分。则
![{\displaystyle b_{k}=\dim {\dfrac {\mathrm {Ker} (d:A^{k}\to A^{k+1})}{\mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a60d5805d4383b028518cdcc3d0fae23256b82)
这是德拉姆上同调理论的简单推论。
德拉姆上同调的不便之处,在于它考虑的是微分形式的等价类,其间可差一个
之元素。设流形
具有黎曼度量,则可以定义微分形式的“长度”。我们若尝试以变分法在等价类中找最短元素,透过形式计算可知存在唯一最短元素
,且为调和形式 :
,在此拉普拉斯算子
依赖于流形的度量,在局部座标系下可表为椭圆偏微分算子。这套想法催生的霍奇理论在复几何中扮演关键角色。
文献
- F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
- J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).