在代數拓撲學中,拓撲空間之貝蒂數
是一族重要的不變量,取值為非負整數或無窮大。直觀地看,
是連通分支之個數,
是沿着閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的
可藉同調群定義。
「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用,以意大利數學家恩里科·貝蒂命名。
定義
空間
的第
個貝蒂數(
為非負整數)定義為
![{\displaystyle b_{k}=\dim H_{k}(X;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2110226612260efb85cc72a565d0a7f139eb8ffc)
上式的同調群可以任意域為系數。
例子
- 圓環
的貝蒂數依次為
。
- 二維環面的貝蒂數依次為
。
- 三維環面的貝蒂數依次為
。
- 一般而言,
維環面的貝蒂數由二項式系數給出,此命題可透過下節敘述的性質證明。
- 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數,例如無窮維複射影空間
的貝蒂數依次為
(週期為二)。
性質
閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。環面之
;一般而言,閉曲面的
等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其
完全分類。
有限單純複形或CW複形的貝蒂數有限。當
大於複形維度時,
。
對於有限 CW 複形,定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數
![{\displaystyle P_{X}(z):=\sum _{k}b_{k}z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b3ccfe2f5e9b78a5dde221ad9f074d11d3f2a5)
對於任意
,有
![{\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e429aea0b89fbc65444d287f619958e7d7144c65)
對於
-維可定向閉流形
,龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性
![{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b543ece227677b0469be7ac456fcba0894e3d5)
貝蒂數與微分形式
在微分幾何及微分拓撲中,所論的空間
通常是閉流形,此時拓撲不變量
可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之,考慮複形
![{\displaystyle 0\to A^{0}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{1}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{2}(X)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe53aaeec166d937087ee316b941788686e1a90)
其中
表
次微分形式構成的向量空間,
為外微分。則
![{\displaystyle b_{k}=\dim {\dfrac {\mathrm {Ker} (d:A^{k}\to A^{k+1})}{\mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a60d5805d4383b028518cdcc3d0fae23256b82)
這是德拉姆上同調理論的簡單推論。
德拉姆上同調的不便之處,在於它考慮的是微分形式的等價類,其間可差一個
之元素。設流形
具有黎曼度量,則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素,透過形式計算可知存在唯一最短元素
,且為調和形式 :
,在此拉普拉斯算子
依賴於流形的度量,在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在複幾何中扮演關鍵角色。
文獻
- F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
- J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).