素数幂
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例如:7 = 71、9 = 32及32 = 25都是质数幂,而6 = 2 × 3、12 = 22 × 3和 36 = 62 = 22 × 32、40 = 23 × 5不是,因为它们有两个或超过两个质因数。(数字1一般不算是质数)。
前几个质数幂如下: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... (OEIS数列A246655)、(OEIS数列A000961)(有1的数列)
质数幂是只有一个质因数的整数。质数幂和类似的概念也称为准素(primary numbers),例如准素分解。
性质
代数性质
质数幂是质数的自乘积。每一个质数幂(2的幂次除外)都有一个原根,因此整数模的整数模n乘法群pn是循环群。
有限域元素的总数一定是质数幂,相对的,质数幂一定是某一个有限域元素的个数(顶多有同构的差异)。
组合性质
质数幂的一个特性常用在解析数论中:质数幂的集合中,不是质数的元素倒数和收敛,而质数的倒数和则发散。
可除性
质数幂的欧拉函数(φ)及除数函数(σ0)和σ1可以用下式计算:
其他
所有的质数幂都是次方数(质数除外),质数幂不可能是楔形数、佩服数。
所有的质数幂都是亏数。质数幂pn是n次殆素数。还不确定质数幂是否可以是相亲数,若有这样的数,pn一定大于101500,且n一定大于1400。
流行媒体
在1997的电影《异次元杀阵》中,质数幂是其中重要的一部份,在像迷宫一样的立方体结构中,质数幂是致命危险的指标。
相关条目
参考资料
- Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.
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