素数幂

素数幂是数学名词，是指单一素数的乘积组成的自然数。

例如：7 = 7¹、9 = 3²及32 = 2⁵都是素数幂，而6 = 2 × 3、12 = 2² × 3和 36 = 6² = 2² × 3²、40 = 2³ × 5不是，因为它们有两个或超过两个素因数。（数字1一般不算是素数）。

前几个素数幂如下： 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... （OEIS数列A246655）、（OEIS数列A000961）（有1的数列）

素数幂是只有一个素因数的整数。素数幂和类似的概念也称为准素（primary numbers），例如准素分解。

性质

代数性质

素数幂是素数的自乘积。每一个素数幂（2的幂次除外）都有一个原根，因此整数模的整数模n乘法群pⁿ是循环群。

有限域元素的总数一定是素数幂，相对的，素数幂一定是某一个有限域元素的个数（顶多有同构的差异）。

组合性质

素数幂的一个特性常用在解析数论中：素数幂的集合中，不是素数的元素倒数和收敛，而素数的倒数和则发散。

可除性

素数幂的欧拉函数（φ）及除数函数（σ₀）和σ₁可以用下式计算：

$\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

其他

所有的素数幂都是次方数（素数除外），素数幂不可能是楔形数、佩服数。

2的幂的数都是殆完全数。

所有的素数幂都是亏数。素数幂pⁿ是n次殆素数。还不确定素数幂是否可以是相亲数，若有这样的数，pⁿ一定大于10¹⁵⁰⁰，且n一定大于1400。

流行媒体

在1997的电影《异次元杀阵》中，素数幂是其中重要的一部分，在像迷宫一样的立方体结构中，素数幂是致命危险的指标。

相关条目

• 殆素数
• 次方数
• 半素数

参考资料

• Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.