运算

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在数学中，一个 运算 被定义为一个将一个或更多个输入值（或称 “运算数” 或 “参数”）对应到一个两定义的输出值的函数。这些运算数的个数被称为该运算的元数。

研究中最常见的运算是二元运算（也就是元数为 2 的运算）如加法、乘法，还有一元运算（也就是元数为 1 的运算）如加法逆、乘法逆。而一个操作数为零的运算，或者说一个零元运算，是一个常数，这种运算在计算机科学中比较常见一些。混合积是一个三元运算的例子。

通常而言一个运算的输入值是有限的，但有时也应当考虑无穷元运算，这时，“通常的”输入值有限的运算就被归类为有限元运算了。

运算的类型

有两类常见的运算，一元和二元运算。其中，一元运算仅涉及一个输入值，比如逻辑非或者三角函数等。而对于以加、减、乘、除以及幂为例的二元运算，则需要两个输入值。

除却数字，运算也允许涉及其他数学对象。比如逻辑真值 “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些逻辑运算符连接并参与运算，其中 “与” 和 “或” 为二元运算，而“非”为一元运算；向量可以进行加减； 转动可以通过函数复合进行运算，运算结果是先进行前一个旋转，接着进行后一个旋转的复合旋转。集合上的运算包括二元的交、并运算；函数之间的运算有函数复合、卷积等。

作为一个函数，运算并不总对其域上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合，记为该运算的定义域。对于整个定义域上的值，包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的上域，而所有导出值本身构成的集合，称运算的像或者值域。例如前文所述的实数平方根，其定义域即 $\mathbb {R} _{\geq 0}$，值域也是 $\mathbb {R} _{\geq 0}$，上域则是任意一个含有值域的集，此处可以为 $\mathbb {R}$；而实数的除法运算，定义域为 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\neq 0}$，值域为 $\mathbb {R} _{\neq 0}$。

此外，多元的运算可以涉及并不相似的元素：向量能够与标量进行数乘运算并得到另一个向量；两个向量可以进行内积运算并最后得到一个标量。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律、交换律、反交换律、幂等等。

这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”，而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 $\infty$ 之间的任何整值。

算符 与运算近似，指的是运算所使用的符号和过程，因而二者并不完全等同。“加法运算”常侧重于输入和输出两端，而“加法算符”（粗略而言，“加号”）则更聚焦于过程，以一种更形式化的说法，即映射 $+\colon X\times X\to X$。

定义

一个从 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到 $Y$的 $n$ 元运算 $\omega$ 被认定为映射

$\omega \colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\to Y.$

其中，集合 $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ 称作运算的域，$Y$称作运算的上域，非负整数 $n$称作运算的元数。特别地，零元运算仅是上域 $Y$上的一个单一元素。值得指出，$n$元运算完全允许视作 $(n+1)$元关系，该关系对运算的域为全域的，对运算的上域则是唯一的。

一个从 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到 $Y$的 $n$ 元部分运算，其上域为 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 的任意子集。

以上叙述常称作 有限关系，参数有限。显然存在扩张，将元数认定为一个无穷序数或者无穷基数，甚至是以任意集作为参数的指标集。

通常情况下，使用”运算“这个词暗含了域是上域的幂这个条件（即上域和自身的一个或更多副本的笛卡儿积），这一性质并不绝对，就像内积运算，并不符合该描述：将两个向量点乘，结果是一个标量。一个 $n$元运算 $\omega \colon X^{n}\to X$ 被称作内部运算；一个 $n$元运算 $\omega \colon X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\to X$，其中$0\leq i<n$，被称作由标量集或者算子集 $S$ 构造的 外部运算。特别地，二元运算 $\omega \colon S\times X\to X$ 称作由 $S$ 决定的 左外部运算，相应地 $\omega \colon X\times S\to X$ 称作由 $S$ 决定的 右外部运算。

一个 $n$ 元多值函数 或者 多值运算 $\omega$ 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 $\omega \colon X^{n}\to {\mathcal {P}}(X)$的映射。

参见

• 有限元关系
• 超运算
• 中缀表示法
• 算子
• 操作数