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双代数

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数学中,域 上的双代数是兼具 上之结合代数(具单位元)与馀代数的结构,而且这两种结构彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代数

定义

相容性意味著馀乘法与馀单位元都是单位结合代数的同态,这也等价于乘法及单位元是馀代数之同态,因为两者由相同的交换图刻画。

由单位图表的对称性,也可导出下述事实:如果 是双代数,而且 具有良好的对偶空间 (例如当 维度有限时),则 也带有自然的双代数结构。

图表

定义中的相容性由以下交换图给出:

乘法与馀乘法相容:

Bialgebra commutative diagrams

乘法与馀单位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

馀乘法与单位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

单位元与馀单位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

在此 是代数乘法,而 是代数之单位元。 是馀代数乘法,而 是馀代数单位元。 定义为

式子

若以算式具体描述,则相容关系有如下之表示(在此采用省略 之 Sweedler 记法):

乘法与馀乘法相容:

乘法与馀单位元相容:

馀乘法与单位元相容:

单位元与馀单位元相容:

在此我们省略代数乘法之映射 ,而直接以两项并置表之。同理,单位元 直接以单位元素 表示(对应到 )。

相关文献

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

参见