在数学中,域
上的双代数是兼具
上之结合代数(具单位元)与余代数的结构,而且这两种结构彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代数。
定义
相容性意味着余乘法与余单位元都是单位结合代数的同态,这也等价于乘法及单位元是余代数之同态,因为两者由相同的交换图刻画。
由单位图表的对称性,也可导出下述事实:如果
是双代数,而且
具有良好的对偶空间
(例如当
维度有限时),则
也带有自然的双代数结构。
图表
定义中的相容性由以下交换图给出:
乘法与余乘法相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Bialgebra2.svg/500px-Bialgebra2.svg.png)
乘法与余单位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Bialgebra3.svg/310px-Bialgebra3.svg.png)
余乘法与单位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Bialgebra4.png)
单位元与余单位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Bialgebra1.svg/125px-Bialgebra1.svg.png)
在此
是代数乘法,而
是代数之单位元。
是余代数乘法,而
是余代数单位元。
定义为
。
式子
若以算式具体描述,则相容关系有如下之表示(在此采用省略
之 Sweedler 记法):
乘法与余乘法相容:
![{\displaystyle (ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793c2b24a62074c33d6cc8daeceed4642696ecf6)
乘法与余单位元相容:
![{\displaystyle \varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20daed13ad77b1abd763b44537a9dbbf1f450bae)
余乘法与单位元相容:
![{\displaystyle 1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9407ce4a0cb8f92d04b327cefff83f5ce2e091)
单位元与余单位元相容:
![{\displaystyle \varepsilon (1)=1.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100e9ab481f48d1ebe057b2d2831cc4c6ea86a84)
在此我们省略代数乘法之映射
,而直接以两项并置表之。同理,单位元
直接以单位元素
表示(对应到
)。
相关文献
- Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
参见