用户:JasonWiki/Drafts/201710/线性空间
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子空间基底
向量组的线性无关
如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V的线性子空间(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空间V自己,以及只包含0的子空间。
给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间,也称线性包络,记作span(B)。
给出一个向量集合B,若它的生成子空间就是向量空间V,则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。
可以生成一个向量空间V的线性独立子集,称为这个空间的基。若V={0},约定唯一的基是空集。对非零向量空间V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列:,那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现:
这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明,一个向量空间的所有基都拥有相同基数,称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种实数向量空间:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:
那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:
可以证明,存在从任意一个n维的-向量空间到空间的双射。这种关系称为同构。