使用者:JasonWiki/Drafts/201710/線性空間
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子空間基底
向量組的線性無關
如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉(也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中),那麼將W稱為V的線性子空間(簡稱子空間)。V的子空間中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空間。
給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也稱線性包絡,記作span(B)。
給出一個向量集合B,若它的生成子空間就是向量空間V,則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。
可以生成一個向量空間V的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若V={0},約定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列:,那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現:
這種表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是說,向量空間的基提供了一個坐標系。
可以證明,一個向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時,任何一組基中的元素個數都是定值,等於空間的維度。例如,各種實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間(維度是n)中,確定一組基,那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說,如果某個向量v表示為:
那麼v可以用數組來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法,基中元素表示為:
可以證明,存在從任意一個n維的-向量空間到空間的雙射。這種關係稱為同構。