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嘉當子代數

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數學中,嘉當子代數(Cartan subalgebra,縮寫為 CSA),是一個李代數 的自正規化(如果 對所有 ,那麼)、冪零子代數,通常用 表示。

存在性和唯一性

當基域是無限域時,有限維李代數的嘉當子代數總是存在的。如果基域是代數閉的且特徵為零,那麼對給定的有限維李代數,所有嘉當子代數通過李代數的自同構都是共軛的,因此也是同構的。

半單李代數的嘉當子代數

對基域是代數閉的且特徵為零的半單李代數,它的嘉當子代數是交換的並有下面的性質: 的伴隨表示限定到 上是 的一個對角化表示,並且特徵值為零的特徵空間正是 。非零的稱為根,對應的特徵空間稱為根空間;所有的根空間都是一維的。

例子

  • 任何冪零李代數是它自己的嘉當子代數。
  • n×n 矩陣 李代數的嘉當子代數是所有對角陣形成的子代數。
  • 為0的二階矩陣李代數有兩個不共軛的嘉當子代數。

參考文獻