在時間與頻率的分析領域中,有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示,而是同時使用時域與頻域來表示。
有幾種方法或轉換被里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析",[1][2][3]最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」,而此類方法中,最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一,其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖,為「短時距傅立葉轉換」的平方,頻譜圖有著平方必為正的優點,容易由圖理解,但有著不可逆的缺點,如短時距傅立葉轉換不可逆計算,無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。[4]
本文主題雖是訊號處理領域,但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下,給與不同的時頻分布表示方式,透過簡單的平滑器或濾波器,計算出其他分布。
一般化
如果我們用變數ω=2πf,然後,借用量子力學領域中使用的符號,就可以顯示該時間-頻率表示,如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈,可表示為
(1)
為一定義其分布及特性之二維函數。
維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義,在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。
特徵方程式
特徵方程式為雙傅立葉轉換,從方程式(1)可以得到
(2)
(3)
為對稱模糊函數,特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。
分布之間轉換關係
假設有兩個分布
and
,個別對應核為
and
,特徵方程式為
(4)
(5)
方程式(4)、(5)相除得
(6)
方程式(6)相當重要,其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。
欲獲得兩分布之間的關係,需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)
(7)
用
來表示
(8)
可改寫成
(9)
其中,
(10)
頻譜與其他雙線性相互關係
我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況,在方程式(9)中,
為頻譜圖而
為任意數,為了簡化符號使用以下表示,
,
,
,可被表示為
(11)
頻譜圖的核為
(12)
令
,
為窗函數,然而在
狀況下得
(13)
使其核滿足
(14)
其核亦滿足
其證明可見Janssen[4]. 當
不等於1時,
(15)
(16)
參考資料
- ^ L. Cohen, "Generalized phase-space distribution functions," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 781–786, 1966.
- ^ L. Cohen, "Quantization Problem and Variational Principle in the Phase Space Formulation of Quantum Mechanics," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 1863–1866, 1976.
- ^ A. J. E. M. Janssen, "On the locus and spread of pseudo-density functions in the time frequency plane," Philips Journal of Research, vol. 37, pp. 79–110, 1982.
- ^ B. Boashash, 「Theory of Quadratic TFDs」, Chapter 3, pp. 59–82, in B. Boashash, editor, Time-Frequency Signal Analysis & Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4.