在时间与频率的分析领域中,有不少的讯号的单纯使用频域或时域表示,而是同时使用时域与频域来表示。
有几种方法或转换被里昂·柯恩统整组织被称为"时频分析",[1][2][3]最常被使用的方法称为“二次”或“双线性时频分析”,而此类方法中,最被广泛使用的方法中以韦格纳分布为其中之一,其他的时频分布则被称为维格纳分布的折积版。另一个被广泛使用的方法为频谱图,为“短时距傅立叶转换”的平方,频谱图有着平方必为正的优点,容易由图理解,但有着不可逆的缺点,如短时距傅立叶转换不可逆计算,无法从频谱图找回原信号。而验证这些理论与定义验证可以参考“二次式时频分布理论”。[4]
本文主题虽是讯号处理领域,但是借由量子力学的相空间来推导某些分布从A分布转换至B分布的过程。一个信号在相同的状况下,给与不同的时频分布表示方式,透过简单的平滑器或滤波器,计算出其他分布。
一般化
如果我们用变数ω=2πf,然后,借用量子力学领域中使用的符号,就可以显示该时间-频率表示,如维格纳分布函数和其它双线性时间-频率分布,可表示为
(1)
为一定义其分布及特性之二维函数。
维格纳分布的核为一。但在一般型式里任何分布的核为一没有任何的意义,在其他状况下维格纳分布的核应为其他结果。
特征方程式
特征方程式为双傅立叶转换,从方程式(1)可以得到
(2)
(3)
为对称模糊函数,特征方程式也可易被称为广义模糊函式。
分布之间转换关系
假设有两个分布
and
,个别对应核为
and
,特征方程式为
(4)
(5)
方程式(4)、(5)相除得
(6)
方程式(6)相当重要,其结果使其连接特征方程式在有线区域内之核不为零。
欲获得两分布之间的关系,需使用双傅立叶转换并使用方程式(2)
(7)
用
来表示
(8)
可改写成
(9)
其中,
(10)
频谱与其他双线性相互关系
我们专注于其中一个从任意代表性的频谱转换的情况,在方程式(9)中,
为频谱图而
为任意数,为了简化符号使用以下表示,
,
,
,可被表示为
(11)
频谱图的核为
(12)
令
,
为窗函数,然而在
状况下得
(13)
使其核满足
(14)
其核亦满足
其证明可见Janssen[4]. 当
不等于1时,
(15)
(16)
参考资料
- ^ L. Cohen, "Generalized phase-space distribution functions," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 781–786, 1966.
- ^ L. Cohen, "Quantization Problem and Variational Principle in the Phase Space Formulation of Quantum Mechanics," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 1863–1866, 1976.
- ^ A. J. E. M. Janssen, "On the locus and spread of pseudo-density functions in the time frequency plane," Philips Journal of Research, vol. 37, pp. 79–110, 1982.
- ^ B. Boashash, “Theory of Quadratic TFDs”, Chapter 3, pp. 59–82, in B. Boashash, editor, Time-Frequency Signal Analysis & Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4.