畢奧-薩伐爾定律
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在靜磁學裏,必歐-沙伐定律(Biot-Savart Law)以方程式描述,電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似,當電流緩慢地隨時間而改變時(例如當載流導線緩慢地移動時),這定律成立,磁場與電流的大小、方向、距離有關[1]。必歐-沙伐定律是以法國物理學者讓-巴蒂斯特·畢奧與菲利克斯·沙伐命名。
必歐-沙伐定律表明,假設源位置為的微小線元素有電流,則作用於場位置的磁場為
- ;
其中,是微小磁場(這篇文章簡稱磁通量密度為磁場),解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mu_0} 是磁常數。
已知電流密度,則有:
- ;
其中,為微小體積元素,是積分的體積。
在流體力學中,以渦度對應電流、速度對應磁場強度,便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線(vortex line)導出的速度。
概念
必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷,電流量不隨時間而改變,電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制,用方程式表示,
- ;
其中,是源電流,是積分路徑,是源電流的微小線元素。
應用這方程式,必須先選出磁場的場位置。固定這場位置,積分於源電流的路徑,就可以計算出在場位置的磁場。請注意,這定律的應用,隱性地依賴著磁場的疊加原理成立;也就是說,每一個微小線段的電流所產生的磁場,其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場,疊加原理成立,因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說,它們是馬克士威方程組的解答。
當電流可以近似為流過無窮細狹導線,上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的,則可用包含導線體積的積分方程式:
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其中,是電流密度,是微小體積元素。
必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律,在靜磁學的地位,類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係,則如庫侖定律之於高斯定律。
假若無法採用靜磁近似,例如當電流隨著時間變化太快,或當導線快速地移動時,就不能使用必歐-沙伐定律,必須改用傑斐緬柯方程式。
等速運動的點電荷所產生的電場和磁場
由於點電荷的運動不能形成電流,所以,必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷以等速度移動,在時間的位置為。那麼,麥克斯韋方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場:
- 、
- ;
其中,是和之間的夾角。
當時,電場和磁場可以近似為
- 、
- 。
這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來,稱為必歐-沙伐點電荷定律[2]。
安培定律和高斯磁定律的導引
這裏,我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律[1][2]。若想查閱此證明,請點選「顯示」。
證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場,永遠滿足高斯磁定律: 首先,列出必歐-沙伐定律, - 。
應用一個向量恆等式,
- ,
將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標,可以將梯度移到積分外:
- 。
應用一個向量恆等式,
- 。
所以,高斯磁定律成立:
- 。
證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場,永遠滿足安培定律: 首先,列出必歐-沙伐定律: - 。
- ,
取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊,稍加運算,可以得到
- 。
應用著名的狄拉克δ函數關係式
- ,
可以得到
- 。
注意到x-分量,
- 。
由於電流是穩定的,,所以,
- ;
其中,是一個微小源面積元素,是體積外表的閉曲面。
這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分,只與體積內所包含的被積函數,或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小,我們可以增大這體積,一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入,也就是說,電流密度等於零。這樣,就可以得到安培定律。
- 。
參閱
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
- 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義II(2)介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.
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