非結合代數
環論 |
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非結合代數[1]:Chapter 1(或分配代數,distributive algebra)是域上的代數,其中乘法不必遵循結合律。即,有代數結構A、域K,若A是K上配備K-雙線性乘法(不必符合結合律)的向量空間,則稱其為K上的非結合代數。例如李代數、約爾丹代數、八元數、具備叉積的3維歐氏空間。由於乘法不必結合,須用括號表示乘法的順序,比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含義是不一樣的。
這裡的「非結合」是說不必結合,而非必不結合,就像非交換環的「非交換」是說「不必交換」。
若代數有單位元e,使得,則稱代數是含幺的或酉的。例如,八元數是含幺的,而李代數絕不含幺。
A的非結合代數結構可與A的K-自同態的全代數的子代數(是結合代數)相關聯,作為K-向量空間研究。兩個例子是微分代數與(結合)包絡代數,後者有「包含A的最小結合代數」的意味。
更一般地,有人提出交換環R上非結合代數的概念:具備R-雙線性乘法的R-模。[1]:1若一結構服從除結合律外所有環的公理(如R代數),則就自然是-代數,所以有人稱非結合-代數為非結合環。
代數結構 |
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滿足恆等式的代數
具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類,難以一同研究。所以,最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式(即性質),這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。
一般性質
令x, y, z表示域K上代數A的任意元素。 正整數次冪可以遞歸地定義為[2]:553(右冪)或[1]:30[1]:128(左冪)。
- 含幺:存在元素e使得;這時可以定義
- 結合性:
- 交換性:
- 反交換性:[1]:3
- 雅可比恆等式:[1]:3[3]:12
- 約爾丹恆等式:[1]:91[3]:13
- 交替性:[1]:5[3]:18[4]:153(左交替);(右交替)。
- 柔性:[1]:28[3]:16。
- n次冪結合性(n ≥ 2):,其中k是整數。
- 三次冪結合性:
- 四次冪結合性:(比較下面的「四次冪交換性」)。
- 冪結合性:[1]:30[1]:128[3]:17[5]:451[2]:553任意元素生成的子代數結合,即對n ≥ 2,有n次冪結合。
- n次冪交換性,其中n ≥ 2:,其中k是整數。
- 三次冪交換性:。
- 四次冪交換性:(比較上面的「四次冪結合性」')。
- 冪交換性:任意元素生成的子代數交換,即n次冪交換(n ≥ 2)。
- 索引n ≥ 2的冪零:任意n個元素之積,在任意結合次序下為零,但n−1個元素時不總成立:個元素y使得在某結合次序下
- 索引n ≥ 2的零:冪結合性、,存在元素y使得
性質之間的關係
對特徵任意的K:
- 結合性推出交替性。
- 左交替、右交替、柔性知二推三。
- 因此交替性推出柔性。
- 交替性推出約爾丹恆等式。[6]:91[a]
- 交換性導出柔性。
- 反交換性導出柔性。
- 交替性導出冪結合性。[a]
- 柔性導出三次冪結合性。
- 二次冪結合和二次冪交換為真。
- 三次冪結合和三次冪交換等價。
- n次冪結合推出n次冪交換。
- 索引2的零推出反交換性。
- 索引2的零推出約爾丹恆等式。
- 索引3的冪零推出雅可比恆等式。
- 索引n的冪零推出索引N的零,其中2 ≤ N ≤ n。
- 含幺與索引n的零不相容。
若或
若
- 右交替性推出冪結合性。[9]:319[10]:179[11]:343[1]:148
- 相似地,左交替性推出冪結合性。
- 含幺與約爾丹恆等式共同推出柔性。[12]:18
- 約爾丹恆等式與柔性共同推出冪結合性。[12]:18–19,fact 6
- 交換性與反交換性共同推出索引2的冪零。
- 反交換性推出索引2的零。
- 含幺與反交換不相容。
若:
- 含幺和雅克比恆等式不相容。
若
- 交換性與(定義四次冪結合性的兩等式之一)共同推出冪結合性。[2]:554,lemma 4
若
- 三次冪結合性與(定義四次冪結合性的兩等式之一)共同推出冪結合性。[2]:554,lemma 3
若
- 交換性與反交換性等價。
結合子
A上的結合子是K-線性映射:
它度量了A非結合的程度,可以很方便地表示一些A滿足的式子。
令x, y, z表示域代數的任意元素。
- 結合律:
- 交替性:(左交替)及(右交替)。
- 這意味着交換任意兩項都會變號:反例僅當
- 柔性:
- 可知,交換極值項將變號:反例僅當
- 約爾丹恆等式:[1]:14或,取決於學者。
- 三次冪結合性:
核是與其他元素結合的元素的集合,[4]:56即,使得
核是A的結合子環。
中心
A的中心是與A中所有元素都交換、結合的元素的集合,即
與核之交。對C(A)中的元素,中兩個集合若是,則第三個集合也是零集。
例子
- 歐幾里得空間,乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。
- 李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。
- 微分流形上的向量場代數(若K是R或C)或代數簇(對一般的K);
- 約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。[3]:13
- 結合代數都可通過以交換子為李括號,給出李代數。實際上,李代數要麼可以這樣構造,要麼是這樣構造的李代數的子代數。
- 定義新的乘法,則特徵不是2的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同,只有一部分約爾丹代數能這樣構造,稱作特殊約爾丹代數。
- 交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數(實數上的代數),以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上,僅有的有限維實交替除代數(下詳)是實數、複數、四元數和八元數。
- 冪結合代數,是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF(2)以外任意域上的約爾丹代數(上詳)與十六元數。
- R上的雙曲四元數代數,是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。
更多種類代數:
- 分次代數,包括大部分對多重線性代數具有重大意義的代數,如張量代數、對稱代數、給定向量空間上的外代數等等。分次代數可推廣到濾子代數。
- 除代數,其中存在乘法逆元。實數域上有限維交替除代數的分類已完成。有實數(1維)、複數(2維)、四元數(4維)、八元數(8維)。四元數和八元數不交換;八元數不結合。
- 二次代數要求,其中r、s屬於底域(ground field),e是代數的單位。例子如有限維交替代數、實2階方陣代數。在同構的意義上,沒有零的除子的交替、二次實代數只有實數、複數、四元數和八元數。
- 凱萊–迪克森代數(其中K是R),始於:
- 超複數代數都是有限維含幺R-代數,於是包含凱萊-迪克森代數等等。
- 泊松代數見於幾何量子化。其中有2個乘法,以不同方式將其變為結合代數與李代數。
- 遺傳代數是非結合代數,在數學遺傳中使用。
- 三元系
性質
環論與結合代數中的性質,對非結合代數來說不總成立,例如有(雙邊)乘法逆元的元素也可能是零除子:十六元數所有非零元都有雙邊逆,而其中有些是零除子。
自由非結合代數
域K上集合X上的自由非結合代數定義為基包含所有非結合單項式的代數,X的元素的有限形式積寫出圓括號,例如單項式u、v之積只是若取空積為單項式,則代數含幺。[13]:321
Kurosh證明,自由非結合代數的子代數都是自由的。[14]:237–262
結合代數
域K上的代數A若是K-向量空間,可考慮A的K-線性向量空間內自同態的結合代數。可將的兩子代數關聯到A上的代數結構:微分代數與(結合)包絡代數。
微分代數
A上的導子是映射D,具有性質
A上的導子形成了子空間。兩導子的交換子仍是導子,所以李括號給出,具有李代數結構。[1]:4
包絡代數
代數A的元素a都附有線性映射L、R:[3]:24
A的結合包絡代數或乘法代數是由左右線性映射生成的結合代數。[1]:14[15]:113A的中心體(centoid)是自同態代數中的包絡代數的中心化子。若代數的中心體包含單位元的K-標量乘,則稱代數是中心的。[5]:451
非結合代數滿足的部分可能等式可用線性映射方便地表示:[4]:57
- 交換性:L(a)等於相應的R(a);
- 結合性:L與任意R交換;
- 柔性:L(a)都與相應的R(a)交換;
- 約爾丹:L(a)與交換;
- 交替:,右式亦如此。
二次表示Q定義為[16]:57
- ,
等價地
泛包絡代數條目描述了包絡代數的規範構造,及它們的PBW型定理。對於李代數,這樣的包絡代數具有泛性質,但對其他非結合代數通常不成立。最知名的例子可能是阿爾伯特代數,是一種特殊的約爾丹代數,不能用約爾丹代數的包絡代數的規範結構來包絡。
腳註
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注釋
參考文獻
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