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麥克勞林不等式

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數學中,麥克勞林不等式Maclaurin's inequality),以科林·麥克勞林冠名,是算術幾何平均不等式的加細。

a1a2, ..., an實數,對 k = 1, 2, ..., n 定義平均 Sk

這個分式的分子是度數為 n 變元 a1a2, ..., ank基本對稱多項式,即 a1a2, ..., an 中指標遞增的任意 k 個數乘積之和。分母是分子的項數,二項式係數

麥克勞林不等式是如下不等式鏈:

等號成立當且僅當所有 ai 相等。

n = 2,這個給出兩個數通常的幾何算術平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麥克勞林不等式:

證明

麥克勞林不等式可用牛頓不等式證明。證明的思路是運用歸納法

  • 首先證明
    也就是:
    這個式子等價於
    也就是:。因此成立。
  • 其次,假設對某個,已經證明了,那麼也就等於說證明了:
    牛頓不等式說明,還有:
    這個不等式兩邊作k乘冪,就得到:
    從而:

於是,綜上所述,可以證明對所有的,都有:

麥克勞林不等式得證。

參見

參考


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